Первообразная и неопределенный интеграл с примерами решения и образцами выполнения

Оглавление:

Первообразная и неопределенный интеграл:

Операция нахождения производной от функции называется дифференцированием. Обратная дифференцированию операция — отыскание функции по ее производной — называется интегрированием. Функция Первообразная и неопределенный интеграл производная которой равна некоторой функции , т.е. называется первообразной для . Так, например, если то ее первообразная есть

Первообразная и неопределенный интеграл если же то ее первообразная Поскольку производная любой постоянной величины равна нулю, то является первообразной не только для Первообразная и неопределенный интеграл но и для и для и вообще для любой функции вида т.е. первообразные одной и той же функции отличаются на постоянную величину. Обобщая вышеизложенное, можно сказать, что функция Первообразная и неопределенный интеграл имеет бесконечное множество первообразных вида

Множество всех первообразных для функции Первообразная и неопределенный интеграл называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается так

где Первообразная и неопределенный интеграл — знак интеграла, читается «интеграл», — подынтегральная функция от переменной интегрирования подынтегральное выражение. С — постоянная интегрирования.

Основные свойства неопределенного интеграла

1.Из определения интеграла следует, что

Так как Первообразная и неопределенный интеграл то

Формулы 3.12-3.14 наглядно иллюстрируют то обстоятельство, что операции дифференцирования и интегрирования взаимно обратны с точностью до постоянной.

4.Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла.

5.Неопределенный интеграл от суммы функций равен сумме неопределенных интегралов от этих функций.

Замечание:

Если каждый из суммируемых неопределенных интегралов содержит свою постоянную интегрирования, то для всей суммы записывается одна постоянная интегрирования.

Как было сказано, операции дифференцирования и интегрирования обратны, поэтому таблица неопределенных интегралов является следствием таблицы производных. Если интеграл не является табличным, то при помощи специальных методов он должен быть сведен к табличному. Методы, позволяющие преобразовать интегралы к табличным, называются методами интегрирования.

Таблица основных интегралов

Пример:

Найти Первообразная и неопределенный интеграл

Решение:

Запишем стоящую в числителе единицу в тригонометрическом виде Первообразная и неопределенный интеграл и, разделив почленно числитель на знаменатель, получим табличные интегралы:

Методы интегрирования

Перечислим основные методы интегрирования.

Метод интегрирования по частям

Пусть на некотором промежутке существуют производные функций Первообразная и неопределенный интеграл

По правилу дифференцирования произведения, имеем

Проинтегрируем это равенство, учитывая, что

Эта формула носит название формулы интегрирования по частям. Ее применение полезно в тех случаях, когда подынтегральное выражение можно представить в виде произведения двух функций Первообразная и неопределенный интеграл а выражение для вычисления интеграла проще, чем подынтегральное выражение

Пример:

Найти Первообразная и неопределенный интеграл Так как производная от х равна 1, то возьмем Используем схему записи в виде, удобном для метода интегрирования по частям:

Метод замены переменной

Добиться упрощения подынтегрального выражения можно при помощи метода замены переменной интегрирования. Суть этого метода заключается в замене переменной интегрирования х на некоторую функцию u(t) с тем, чтобы преобразовать исходный интеграл к более простому виду.

Формула (3.16) называется формулой замены переменной под знаком неопределенного интеграла. Важные частные случаи:

Алгоритм метода замены переменной следующий. Вначале необходимо найти замену переменной интегрирования Первообразная и неопределенный интеграл записать интеграл с новой переменной интегрирования t, вычислить его, а затем вновь вернуться к исходной переменной интегрирования.

Пример:

Найти Первообразная и неопределенный интеграл Особенностью данного интеграла является то обстоятельство, что его подынтегральное выражение содержит множитель который является дифференциалом функции Первообразная и неопределенный интеграл Поэтому в данном интеграле целесообразно ввести замену переменной: Отсюда Подставляя в исходный интеграл, имеем

Пример:

Найти Первообразная и неопределенный интеграл

Решение. Здесь уместна замена Первообразная и неопределенный интеграл и Поэтому

Первообразная и неопределенный интеграл

Смотрите также:

Предмет математический анализ

Частные производные высших порядков.	Табличные интегралы.
Дифференциалы высших порядков.	Интегрирование подстановкой (замена переменной).

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике: