Уравнения и неравенства в математике с примерами решения и образцами выполнения

Уравнение — это самая простая и самая распространенная форма математической задачи. Заканчивая школьный курс, вы накопили богатый опыт решения разнообразных уравнений. Наступил момент, когда нужно привести свои знания в порядок, разобраться в тех приемах и рассуждениях, которые вы обычно проводили при решении уравнений, часто не обращая внимания на их смысл.

Мы начнем повторение с понятия «выражение».

Выражение

Выражение — это числа и буквы, соединенные знаками разнообразных операций.

В начальной школе вы познакомились с простейшими арифметическими операциями — сложением, вычитанием, умножением, делением — и с их помощью составляли выражения такого, например, типа:

Появление новых операций — возведение в степень, логарифмирование, вычисление синуса, тангенса и т. д. — расширило возможности в составлении выражений. Теперь можно составить более сложные выражения, например такие:

Числа и буквы, входящие в состав выражения, имеют разный смысл. Число, как бы оно ни было записано, например 0,5; 0,4999… или как-то иначе, всегда конкретно, постоянно Буква же обозначает переменную, меняющуюся величину, которая может принимать разнообразные значения. Мы будем подставлять в выражения вместо букв только числа. При подстановке в выражение вместо букв каких-то чисел мы будем получать так называемые числовые выражения. Так, числовое выражение получено из выражения подстановкой в него значений х = 3, у = 5.

Подставляя в выражение определенные значения букв, мы можем получить числовые выражения, не имеющие смысла. Бессмысленные числовые выражения получаются прежде всего тогда, когда это выражение содержит невыполнимые операции над числами, например деление на нуль, логарифмирование отрицательного числа, арксинус числа, большего единицы, тангенс числа и т. п. Другой причиной, приводящей к не имеющим смысла числовым выражениям, является подстановка вместо букв чисел, не входящих в область допустимых значений этих букв. Например, если в выражении для производительности труда участвует буква а, обозначающая число землекопов в бригаде, то, подставляя значение («два землекопа и две трети»), мы получим бессмысленное числовое выражение, хотя все операции над входящими в выражение числами формально осуществимы.

Областью допустимых значений (ОДЗ) выражения обычно называют множество всех значений букв, при подстановке которых выражение имеет смысл, т. е. превращается в осмысленное числовое выражение.

Заметим, что если выражение содержит одну букву, то его ОДЗ — это числовое множество, т. е. какое-то подмножество точек числовой прямой. Если же букв, например, две, то ОДЗ выражения — это множество пар чисел и его можно изобразить в виде области, расположенной на координатной плоскости.

Возьмем какое-либо осмысленное числовое выражение и проделаем все указанные в выражении операции над входящими в него числами. Получим одно число — значение числового выражения. Возьмем буквенное выражение и подставим в него вместо букв числа из ОДЗ (т. е. такие числа, чтобы выражение превратилось в осмысленное числовое выражение). Вычислим значение получившегося числового выражения. Это число называют значением выражения при выбранных значениях букв. Возможность однозначно вычислить значение выражения при любых допустимых значениях входящих в него букв позволяет определить функцию. Вот почему говорят, что выражение можно рассматривать как способ вычисления значений некоторой функции. Поэтому понятие выражения и понятие функции близки между собой.

Два выражения считаются тождественно равными, если равны их числовые значения при любых допустимых значениях букв, входящих в это выражение. Тождество — это два тождественно равных выражения, соединенные знаком равенства.

Примеры тождеств.

Во всех приведенных тождествах ОДЗ выражений, стоящих слева и справа, совпадают. Часто используют тождества, соединяющие выражения, имеющие разные ОДЗ. В этом случае имеется в виду, что тождество выполняется на общей части ОДЗ выражений, стоящих справа и слева. Поэтому без дополнительных оговорок считаются тождествами следующие равенства выражений:

Иногда искусственно (какими-либо дополнительными условиями) уменьшается ОДЗ выражений, составляющих некоторое равенство. Тогда можно говорить о тождестве, выполняющемся на некотором множестве. Так, если [х] обозначает целую часть числа х, то равенство является тождеством на множестве целых чисел (но, разумеется, не является тождеством в обычном смысле слова). Приведем более содержательные примеры.

Тождественное преобразование выражения — это переход от одного выражения к тождественно равному выражению.

Самые «безобидные» тождественные преобразования — например, приведение подобных членов, сокращение дробей, использование свойств степени и т. п.— могут привести к выражению, у которого ОДЗ больше или меньше, чем у исходного выражения. Это может оказаться существенным при решении уравнений, поэтому информацию об изменении ОДЗ при тождественных преобразованиях полезно хранить в памяти (собственной-, машинной или просто в тетради).

Уравнение

Возьмем два числовых выражения и поставим между ними знак равенства. Мы получим числовое равенство. Оно будет верным или неверным в зависимости от того, равны или не равны значения взятых числовых выражений. Классическими примерами являются равенства 2 ⋅ 2 = 4 и «2 ⋅ 2 = 5».

Отметим еще раз, что, когда мы говорим «равенство двух числовых выражений», мы вовсе не утверждаем, что эти два выражения действительно равны. Соединить два числовых выражения A и В знаком « = » и говорить о получившемся равенстве А =В можно независимо от того, верно или неверно сформулированное нами утверждение А = В.

Возьмем два буквенных выражения и соединим их знаком равенства. Получим уравнение. Таким образом, уравнение в первом приближении можно понимать как равенство двух буквенных выражений.

Равенство числовых выражений иногда называют «безусловным» равенством, т. е. равенством или безусловно верным, или безусловно неверным. Уравнение с этой точки зрения можно считать «условным равенством» — при одних условиях ( т. е. при одних значениях букв) оно может оказаться верным, при других — неверным. Тождество — это равенство, верное при всех допустимых значениях букв. Его тоже можно считать частным случаем уравнения.

Уравнение — это не просто формальное равенство двух выражений. Главное в понятии уравнения — это постановка вопроса о его решении. Можно сказать, что уравнение — это равенство двух выражений вместе с призывом найти его решения. Опишем более точно, что же значит решить уравнение.

Буквы, входящие в состав уравнения (т. е. в состав выражений, образующих уравнение), называются неизвестными. Если такая буква одна, то говорят, что мы имеем дело с уравнением с одним неизвестным. Аналогично можно говорить об уравнении с двумя, тремя и любым другим числом неизвестных.

Рассмотрим уравнение с одним неизвестным. Значение неизвестного, при подстановке которого уравнение превращается в верное числовое равенство, называется корнем уравнения.

Решить уравнение с одним неизвестным — значит найти все его корни.

Возьмем уравнение с числом неизвестных, большим чем одно. Например, рассмотрим уравнение с двумя неизвестными. Чтобы получить из него числовое равенство, надо каждому неизвестному придать определенное числовое значение, т. е. взять пару чисел. Решить уравнение с двумя неизвестными — значит найти все пары чисел, удовлетворяющих этому уравнению, т. е. такие, при подстановке которых уравнение превращается в верное числовое равенство. Одну такую пару тоже можно было бы назвать корнем уравнения, но обычно так не говорят, а вводят понятие «решение уравнения».

Винер Норберт

(1894—1964) — американский математик, создатель кибернетики как «науки об управлении и связи в живом организме и машине». Работы Винера являются основополагающими для применения вычислительных машин в различных сферах человеческой деятельности. Норберту Винеру принадлежит высказывание: «Вычислительная машина ценна ровно настолько, насколько ценен использующий ее человек».

Решение уравнения с двумя неизвестными — это пара чисел, удовлетворяющих этому уравнению.

Разумеется, и в случае уравнения с одним неизвестным можно вместо слов «корень уравнения» говорить «решение уравнения». Путаница может возникнуть из-за разного употребления слова «решение». Можно сказать о решении уравнения как его корне. При таком употреблении этого слова имеют смысл такие фразы, как «уравнение имеет одно решение», «уравнение имеет три решения», «уравнение не имеет решений». В речи часто используют словосочетание «решение уравнения» как процесс нахождения его корней (решений). Можно сказать так: «Уравнение имеет сложное решение», «Я не смог найти путь решения этого уравнения». В процессе решения уравнения может обнаружиться, что оно совсем не имеет корней (решений). В этом случае мы скажем, что мы уравнение решили: доказали, что у него решений нет.

Что означает найти корни уравнения? В школьной практике при решении уравнений принято записывать ответ как результат знакомых операций над числами, например:

В то же время при решении прикладных задач бывает необходимо представить ответ в десятичной записи с определенным числом знаков после запятой. Такой ответ можно получить, используя калькулятор или другое вычислительное устройство.

Мы условились понимать под уравнением равенство, составленное из двух выражений. Мы уже говорили о том, что выражение можно рассматривать как способ задания некоторой функции. Поэтому уравнение можно понимать как равенство, соединяющее две функции. Пусть даны две функции от переменной х, например y = f(x) и y = g{x). Составим уравнение f{x) = g(х). Оно получено приравниванием выражений f (х) и g (х). Пусть D1 =D (f) и D2 = D (g) — области определений функций f и g. Тогда D1 и D2 можно понимать как области допустимых значений выражений f (х) и g (х). Общая часть областей D1 и D2, т. е. множество , является ОДЗ уравнения f(x) = g(x).

Полезно вспомнить, что подставлять в уравнение можно любое значение х. При каком-то значении х может получиться бессмысленное числовое выражение, а при х из ОДЗ получится осмысленное числовое равенство. Если при этом оно окажется еще и верным, то взятое число х является корнем уравнения.

Вернемся к вопросу о решении уравнения. Начнем с уравнения с одним неизвестным х. В какой форме рекомендуется записывать его ответ?

Уравнение может иметь один корень, например x=5. Тогда ответ проще всего записать именно в этой форме: х=5.

Уравнение может иметь несколько (конечное число) корней. Ответ удобно записать в виде перечисления всех корней, давая каждому значению х свой номер. Например, х1 = — 1, x2 = 0, xз=1. Полезно корни располагать в порядке возрастания.

Уравнение может вовсе не иметь корней. В таком случае нагляднее всего это и указать в ответе словами: корней нет.

Тригонометрические уравнения (и вообще уравнения с периодическими функциями) часто имеют бесконечно много корней, которые можно записать в виде одной или нескольких последовательностей. Скажем, возможна такая запись ответа:

Встречаются уравнения, решения которых заполняют один или несколько промежутков, которые и указываются в ответе, например: 0 ≤ x ≤ 1 или х —- любое число.

Все корни (решения) уравнения образуют множество корней. Слово «множество» не означает, что корней очень много («великое множество»). Если множество корней обозначить одной буквой, скажем X, то ответ может быть записан иначе. Примеры записи ответов с употреблением теоретико-множественных обозначений: Х={5}; Х = {1; 0; 1}; Х= ∅ (пустое множество, т. е. корней нет; не надо путать знак пустого множества с обозначением нуля);

Множество решений уравнения с двумя неизвестными состоит из пар значений этих неизвестных. Важно помнить, что одна пара, скажем х=1, у = 5,— это одно решение (а не два).

Равносильность

Если идет дождь, то мы открываем зонт. Можно сказать, что открывание зонта является следствием того, что идет дождь. Если число делится на 6, то оно четно. Так же как и в первом случае, можно сказать, что четность числа является следствием его делимости на 6.

Пусть даны два уравнения Лий. Если каждый корень уравнения А является корнем уравнения В, то говорят, что уравнение В является следствием уравнения А, и записывают так: А ⇒ В (читается: «Из А следует В», или «В является следствием A», или «Если А, то В»),

На языке теории множеств можно сказать короче: уравнение В является следствием уравнения А, если множество корней уравнения А содержится в множестве корней уравнения В, т. е. если XA ⊂ ХВ, где ХА и Хв — упомянутые множества корней.

Переходя от одного уравнения к его следствию, мы не потеряем корней исходного уравнения, но возможно приобретем лишние. Основой получения разнообразных следствий является следующее простое соображение. Пусть а = b — числовое равенство, a f — функция, определенная в точках а и b. Тогда равенство f(a) = f(b) является следствием равенства а = b, т. е. если равенство а — b верно, то верно и равенство f(a) = f(b) (если оно имеет смысл).

Возьмем теперь уравнение, полученное приравниванием двух выражений. Если функция f определена при всех значениях этих выражений, то, вычислив значения функции f от обеих частей уравнения, получим новое уравнение, являющееся следствием исходного. Это правило особенно удобно, если функция f определена при любых числовых значениях переменных.

Приведем примеры. Возьмем уравнение

Следующие уравнения являются его следствиями (рядом записана применяемая функция, а буквой z обозначен ее аргумент):

Все функции f определены при любом z, поэтому получение указанных следствий было формальной операцией.

В случаях 5—8 функции уже определены не при всех х. Однако во всех случаях новые уравнения являются следствиями исходного. Этот вывод уже не является формальным. Примеры 5—7 разберите самостоятельно. Пример 8 является существенно более трудным и требует дополнительных сведений о корнях исходного уравнения (докажите, что все его корни лежат на отрезке [0; 1]).

Два уравнения называются равносильными, если каждое из них является следствием другого, т. е. если каждый корень одного из них является корнем другого. Пусть уравнение А имеет множество корней ХА, а уравнение В — множество Хв. Равносильность уравнений А и В обозначается так: А ⇔ В. По определению равносильность означает выполнение двух условий: А ⇒ В (уравнение В является следствием уравнения А) и В ⇒ А (наоборот, уравнение А является следствием уравнения В). На языке теории множеств равносильность означает равенство ХА = ХВ.

Итак, у равносильных уравнений корни одни и те же. Поэтому основным способом решения уравнения является следующий: с помощью перехода от одного уравнения к равносильному стараются прийти к уравнению, решения которого находятся легко.

Основной способ получения следствия нам известен — вычисление значений какой-либо функции от обеих частей уравнения.

Чтобы этот переход сохранял равносильность, надо, чтобы возможен был обратный переход. Это всегда выполняется, если новое уравнение получено с помощью функции, имеющей обратную. На этом соображении основаны теоремы о равносильности, позволяющие утверждать равносильность пар уравнений, получающихся друг из друга с помощью взаимно обратных функций. Сформулируем несколько таких теорем.

Запишем уравнение в символической форме:

□ = Δ,

где □ и Δ —два выражения, составляющие уравнение.

Теоремы помещены в левой колонке таблицы. В правой колонке указаны взаимно обратные функции, с помощью которых эти теоремы доказываются.

Во всех этих случаях не было трудностей с областями определения применяемых функций. Использование таких распространенных операций, как возведение в квадрат, умножение и деление на некоторую функцию, нахождение обратной величины и т. д., в общем виде не гарантирует равносильности. Например, возводя в квадрат обе части уравнения, мы получаем следствие:

Вообще говоря, обратный переход неверен. Однако если из последующего решения уравнения □2= Δ2 мы узнаем, что для его корней выражения □ и Δ имеют одинаковый знак, то можно будет поставить стрелку в обратном направлении и найти корни исходного уравнения:

□2 = Δ2 ⇒ □ = Δ, если □ и Δ одного знака.

Остановимся подробнее на некоторых полезных преобразованиях уравнений.

1) Тождественное преобразование одной из частей уравнения и перенос членов из одной части уравнения в другую с противоположным знаком приводят к равносильному уравнению, если при этом не происходит изменения ОДЗ. Например, уравнение

равносильно уравнению

x²  — Зх + 2 = 0.

В то же время уравнения

не являются равносильными (корни первого: х1 = — 8, x2 = 4; корень второго: x = 4), так как логарифмирование произведения уменьшило ОДЗ.

2) Переход к совокупности уравнений. Рассмотрим задачу, в которой требуется решить несколько уравнений, а затем объединить их корни. Можно сказать, что идет речь о решении совокупности уравнений. Обычно совокупность обозначается с помощью прямой скобки.

Пусть ОДЗ выражений □ и ∆ совпадают. Тогда уравнение □ • ∆ = 0 равносильно совокупности

Оговорка про совпадение ОДЗ не случайна. Так, уравнение cos x • tg x = 0 не равносильно совокупности

3) Переход к системе уравнений. Рассмотрим задачу, в которой надо решить несколько уравнений и взять их общие корни (или иначе найти числа, удовлетворяющие каждому из уравнений системы). В систему можно объединять не только уравнения, но и различные условия, ограничения, неравенства. Например, решить систему

означает, что надо решить первое уравнение и взять только те его корни, для которых выполняется неравенство х+1;>0.

Использование переходов от уравнения к совокупностям и системам позволяет разнообразить схемы равносильных переходов. Покажем некоторые из них:

Различные переходы от уравнения к совокупностям и системам изображены на схеме XV.

Неравенство

Почти все, что было выше сказано об уравнении, можно дословно перенести и на неравенство. Прежде всего отметим, что знаков неравенства четыре: > (больше), < (меньше), ≥ (больше или равно), ≤ (меньше или равно). Мы будем говорить о каком-либо одном из них.

Числовое неравенство получается соединением двух числовых выражений знаком неравенства. Аналогично равенствам числовые неравенства могут быть верными или неверными. В приведенных ниже примерах все неравенства с нечетными номерами являются верными, а с четными — неверными:

Приведем основные правила преобразования неравенств, используя знак следствия ⇒ и равносильности ⇔.

Основой техники преобразования неравенств является следующее общее соображение: пусть функция f монотонна на промежутке, содержащем числа а и b. Тогда а<b ⇒ f {a)<f (b), строго возрастает; а<b ⇒ f {a)>f (b) если f строго убывает.

Указанные выше свойства 3—6 получаются применением этого правила к функциям y = cz и .

Аналогично для функций y = z2 и у = 2z можно записать:

Неравенство с одним неизвестным получается, когда соединяют знаком неравенства два выражения, содержащие одну букву, или, что близко по смыслу, две функции от одной и той же переменной. Аналогично можно рассматривать неравенства с двумя и более неизвестными.

Ограничимся неравенствами с одним неизвестным. Область допустимых значений (ОДЗ) неравенства—это множество значений неизвестного, при подстановке которых получается осмысленное числовое неравенство. Решение неравенства — это такое значение неизвестного, при подстановке которого получается верное числовое неравенство. Решить неравенство — это значит найти, описать множество его решений. Два неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают. Одно неравенство является следствием другого, если множество его решений содержит в себе множество решений второго. Ясно, что каждое из равносильных неравенств является следствием другого. Технику решения неравенств с помощью переходов, сохраняющих равносильность.

Параметр

Посмотрим на знакомое уравнение аx² + bх+с = 0. Выражение, стоящее в его левой части, содержит четыре буквы — х, а, b, с. Хотя все эти четыре буквы равноправны, мы смотрим на это уравнение как на квадратное уравнение относительно неизвестного х, считая а, b, с буквенными коэффициентами, параметрами. Необходимость рассматривать уравнения с буквенными коэффициентами возникает часто. Прежде всего это полезно тогда, когда формулируются некоторые общие свойства, присущие не одному конкретному уравнению, а целому классу уравнений. Так, мы можем сформулировать свойства корней квадратного уравнения, показательного уравнения ах = b, тригонометрического уравнения sin ωх=а в зависимости от параметров a, b, ω.

Разумеется, то, что в уравнении одни буквы мы считаем неизвестными, а другие — параметрами, в значительной степени условно. В реальной практике из одного и того же соотношения между переменными приходится выражать одни переменные через другие, т. е. решать уравнение относительно одной буквы, считая ее обозначением неизвестного, а другие буквы параметрами.

По традиции неизвестные обозначаются последними буквами латинского алфавита — х, у, z, а параметры — первыми — а, b, с или вообще буквами другого алфавита (например, греческими).

При решении уравнений и неравенств с параметрами чаще всего встречаются две задачи:

1. Найти формулы для решений уравнения (неравенства), выражающие эти решения как функции от параметров. Типичный пример — формула корней квадратного уравнения.
2. Исследовать решения уравнения (неравенства) в зависимости от изменения значений параметров. Скажем, встречается такая задача: найти число корней уравнения в зависимости от параметра или определить, при каких значениях параметра уравнение не имеет корней. Очень часто исследование корней в зависимости от параметра можно провести, не вычисляя самих корней.

Пример:

Дано уравнение x²+ 2x + а = 0 относительно неизвестного х с параметром а.

• 1) При каких значениях а уравнение имеет два корня?
• 2) При каких значениях а уравнение имеет два корня, причем один из них больше единицы, а другой меньше?
• 3) При каких значениях а сумма квадратов корней меньше шести?

Решите этот пример самостоятельно.

Укажем ответы: 1) а<1; 2) а< — 3; 3) — 1<а<1.

Уравнения с одним неизвестным

В простейших случаях решение уравнения с одним неизвестным распадается на два шага — преобразование уравнения к стандартному и решение стандартного уравнения. Второй шаг осуществляется по известным формулам, которые всегда можно восстановить в памяти с помощью справочников. Есть они и в справочных материалах в нашем учебнике.

Перечислим стандартные уравнения, которые были нами изучены.

1. Линейное уравнение ах+b = 0.
2. Квадратное уравнение а x² + bх + с=0.
3. Простейшее степенное уравнение хп = а.
4. Показательное уравнение а’ = b.
5. Логарифмическое уравнение logax = b.
6. Простейшие тригонометрические уравнения sin x = a, cos x=a, tg х=а, ctg x — a.

Преобразование уравнения к одному из стандартных является основным шагом в решении уравнения. Полностью алгоритмизировать процесс преобразования нельзя, однако полезно запомнить некоторые наиболее употребительные приемы, общие для всех типов уравнений.

1) Разложение на множители. Если уравнение равносильными преобразованиями удается привести к виду □ • ∆ =0, то, как мы уже отмечали, исходное уравнение равносильно совокупности двух более простых уравнений , при условии сохранения ОДЗ.

Этот прием часто применяется при решении алгебраических уравнений степени выше второй, при решении тригонометрических уравнений. Соответствующие примеры будут приведены ниже.

2) Введение нового неизвестного. Посмотрите, не решая, на следующий набор уравнений:

В каждом из этих уравнений отметим присутствие выражения x²+Зх. Если заменить его буквой у, т. е. положить у = x² +3x то получим более простые уравнения относительно у:

Найдя из этих уравнений значения у, подставим их в соотношение у = x² + 3х и вычислим корн и исходного уравнения.

3) Графический метод. Рассмотрим уравнение с одним неизвестным f(x) = g(x).

Изобразим на одном рисунке графики функций y = f(x) и y = g(х) (рис. 139). Точкам пересечения графиков этих функций соответствуют те значения аргумента х, при которых совпадают значения функций, т. е. корни данного уравнения.

Итак, абсциссы точек пересечения графиков функций y = f(x) и y = g(x) являются корнями уравнения f(x) = g(x).

Например, для уравнения x² = х+2 такими точками будут Р1 (—1; 1) и Р2 (2; 4), т. е. x₁ = -1, x₂ = 2.

Если уравнение имеет вид f (х) = 0, то в качестве функции, стоящей в правой части, выступает функция у = 0. Графиком ее будет ось х, поэтому корнями уравнения f(x) = 0 будут абсциссы точек пересечения графика функции y=f(x) с осью х.

Графическая иллюстрация решения уравнения указывает на первый взгляд и способ решения уравнения: строят в системе координат две кривые и находят их точки пересечения. Действительно, если выбрать масштаб и построить графики достаточно аккуратно, то можно приближенно найти точки пересечения и их абсциссы — корни уравнения. Но для того чтобы найти координаты точек пересечения точно, как раз и нужно решить соответствующее уравнение! В то же время графическая иллюстрация часто дает некоторые качественные ответы, число корней, а также грубо указывает отрезки на числовой оси, где эти корни могут находиться. Рассмотрим в качестве примера уравнение

Построим графики функций, стоящих в левой и правой частях.

Из рисунка 140 можно заключить, что уравнение имеет два корня, один из которых находится в интервале (0; 1), а другой — в интервале (2; 3). Можно указывать эти интервалы и более точно: (0; 0,5) и (2; 2,5), еще более точно: (0,2; 0,3) и (2,2; 2,3). (Действительно, нетрудно проверить, что при х = 0,2 имеем , а при х = 0,3 уже ; точно так же при x = 2,2 левая часть уравнения больше правой, а при х = 2,3 меньше.)

Вообще, вычисляя и сравнивая значения левой и правой частей уравнения, можно найти корни с любой степенью точности.

Корни уравнения пятой степени х5—Зх + 1= 0 вообще нельзя записать с помощью радикалов, но, построив достаточно точный график функции у = х5-Зх+1 (рис. 141), можно определить, что уравнение имеет три корня в интервалах (—1,5; —1,3), (0; 0,5) и (1; 1,3).

Примеры решения уравнений

1) Алгебраическое уравнение x (x+ 1) (x + 2) (x + 3)= 120.

Если раскрыть скобки и привести подобные члены, то получится уравнение четвертой степени. Общий прием решения уравнения четвертой степени нам неизвестен, поэтому не будем торопиться раскрывать скобки.

Первый способ. Воспользуемся симметрией левой части. Перемножим первый и четвертый множители, а также второй и третий. Получим ( x² + Зх) ( x² + Зх + 2) = 120. Теперь видно, что после замены x² + 3х = у уравнение сводится к квадратному y (y+ 2)= 120.

Второй способ. Симметрией можно воспользоваться иначе. Заметим, что числа х, х+l. х+2, х + З расположены на числовой оси симметрично относительно числа . Сделаем замену=у. Тогда x = y —, х+ 1 =у-, х + 2 = у + ,

,x + 3 = у +. Уравнение превращается в такое:

Теперь преобразования более очевидны:

Это так называемое биквадратное уравнение, приводящееся к
квадратному заменой y2 = z
Третий способ. Перемножив все скобки, получим уравнение

Попробуем подобрать корень.

Легко догадаться, что 2 • 3 • 4 • 5= 120, поэтому х=2 является корнем. Разделим левую часть уравнения на х — 2:

Теперь подбираем корень уравнения x3 + 8x² + 27x + 60 = 0. Можно угадать х= — 5 (так как ( — 5) • ( — 4) • ( — 3) • ( — 2)= 120). Выделим множитель x+ 5:

У оставшегося квадратного трехчлена x² + Зx+12 вещественных корней нет.

Четвертый способ. Он основан на тождестве х(х+ 1)(х + 2)(х + 3)+1 =( x² + 3x+1)² (см. задачу 3 в конце главы). Получаем:

Ответ: x₁ = — 5, x₂ = 2.

2) Уравнение с модулем | x² + 2x|+ x² + x = 5.

Уравнение равносильно совокупности двух систем:

Рекомендуем сначала решить квадратное неравенство

Ответ:

3) Иррациональное уравнение

Уравнение равносильно системе Заметим, что указывать ОДЗ (х + 2 ≥ 0) нет надобности, так как всякое решение уравнения, полученного после возведения в квадрат, автоматически попадет в ОДЗ: ведь если верно, что x + 2 = x², то x + 2>0, так как x² ≥ 0. Наоборот, пропуск условия х ≥ 0 нарушает равносильность.

Ответ: x = 2.

4) Показательное уравнение

Замена = у немедленно приводит его к алгебраическому

Ответ: x₁ = — 1, x₂ = 2.

5) Логарифмическое уравнение log₂ (Зх — x²) = 1 — log₂ (х— 1).

При потенцировании теряется информация об ОДЗ. Поэтому выпишем ОДЗ в явном виде:

Решением этой системы неравенств будет интервал (1; 3). Теперь потенцируем, перенося логарифм в левую часть:

Подобрав один корень х = 2, выделяем множитель (x— 2):

Корни квадратного множителя: х=1±. Сопоставляя с ОДЗ, получаем ответ: x₁ =2, x₂ =1+

6) Тригонометрическое уравнение

Делаем замену

и получаем уравнение

откуда

т. е. π n

Так как уравнение несовместно с условием cos х= — 1, то при переходе к тангенсу половинного угла потери корней не произошло.

Приближенные методы вычисления корней

Во многих случаях при решении уравнений их корни находят приближенно. Для этого в математике накоплены различные методы приближенных вычислений. Обычно они дают последовательность приближений к искомому числу. Примером может служить способ извлечения квадратного корня, знакомый из курса алгебры.

Простейшим методом приближенного вычисления корней является метод половинного деления. Допустим, что известен промежуток [а; b], на котором лежит искомый корень. Приближенно строится график функции f на этом промежутке (например, так, как это изображено на рисунке 142).

Вычисляя f (а) и f (b), видим, что эти числа разных знаков: f (а) < 0, f (b)> 0. Вычисляем далее значение функции f в середине отрезка [а; b). Из двух половин отрезка [a; b] берем ту, на концах которой знаки функции различны. Очевидно, корень х лежит внутри нового отрезка. Совершаем с ним ту же процедуру: делим его пополам, вычисляем значение функции f в точке деления и берем ту половину отрезка, на концах которой знаки функции f различны. Так мы получим последовательность отрезков, длина которых убывает и внутри которых лежит искомый корень. Это и означает, что получена последовательность приближенных значений искомого корня.

И. Ньютону принадлежит так называемый метод касательных. Об этом способе приближенного вычисления корней можно получить представление, рассматривая рисунок 143. Приближенные значения корня получаются построением касательных к графику функции. Уравнение касательной написать нетрудно, а затем нужно найти точку ее пересечения с осью х, что и дает приближенное значение корня функции.

Вместо касательных можно проводить хорды (рис. 144) и поступать аналогично (метод хорд).

Неравенства с одним неизвестным

Решение неравенств (так же как и решение уравнений) обычно распадается на два шага — преобразование неравенства к одному из стандартных и решение стандартного неравенства. К стандартным неравенствам мы отнесем следующие типы неравенств, изученные нами ранее (из возможных четырех знаков неравенства мы выбираем один):

1. Линейное неравенство ах + b> 0.
2. Квадратное неравенство а x² + bх + с>0.
3. Степенное неравенство >а.
4. Показательное неравенство >Ь.
5. Логарифмическое неравенство logах>Ь.

Решение стандартных неравенств было рассмотрено нами в предыдущих главах.

Общие приемы решения уравнений и неравенств аналогичны. Так же как и для уравнений, при решении неравенств помогает разложение на множители. Как уже отмечалось, решение неравенства вида можно заменить решением двух систем
неравенств:

В то же время если множители □ или ∆ являются линейными или произведениями линейных, то не стоит сводить решение неравенства к системе: проще применить метод интервалов, который сильно сокращает количество вычислений.

Важнейшим методом решения неравенств является метод замены неизвестного. Мы проиллюстрируем его примером решения неравенства

Прежде всего сделаем замену, тогда и неравенство примет вид

Изобразим график квадратного трехчлена y = 2z² — 16z (рис. 145). Решением неравенства |у + 19| ≤ 5, как видно из графика, является объединение двух отрезков [z₁, z₂] и [z_3, z₄], где z₁, z₄ — решения уравнения у= = — 14, a z₂ , z₃ — решения уравнения y = —24. Решая эти уравнения, находим z₁ = 1, z₂ =2, z₃ = 6, z₄ = 7. Учитывая, что функция z является возрастающей, решаем стандартные неравенства и записываем ответ: [—1; 0]U[log₂ 6 —1; log₂ 7—1].

Примеры решения неравенств

1) Алгебраическое неравенство

Перенесем правую часть влево, приведем к общему знаменателю и разложим на множители числитель дроби:

Применяя метод интервалов, с помощью числовой оси (рис. 146) решаем неравенство и получаем ответ: х<-3, — 2 < x < — 1, x >1.
2) Иррациональное неравенство

ОДЗ: х + 2 ≥ 0 ⇔ х ≥ — 2.

Если иррациональное уравнение мы смело возводили в квадрат, так как всегда можно было проверить нарушение равносильности, подставляя корни полученного уравнения, то при решении неравенства нужно поступать аккуратнее.

Заметим, что неравенство а>b, где а ≥ 0, b<.0, является всегда верным, какие бы значения указанных знаков ни подставляли вместо а и b. Поэтому если х<0, то неравенство будет верным. Итак, все отрицательные числа, входящие в ОДЗ, будут решениями неравенства. Нанесем их на числовую ось. Пусть х ≥ 0. Возведение в квадрат теперь не нарушает равносильности:

Корни квадратного трехчлена x₁ = — 1, x₂ = 2 наносим на числовую ось; решением неравенства будут числа 0 ≤ х<2.

Ответ: — 2 ≤ x < 2.

3) Логарифмическое неравенство

Сначала преобразуем правую часть:

Стандартное логарифмическое неравенство равносильно системе

Решаем каждое неравенство системы методом интервалов, предварительно сделав преобразования:

Корни числителя: x₁ = , x₂ = 4. Решение системы неравенств изображено на рисунке 147. Ответ: — ≤ х<0, x ≥ 4.

Системы уравнений

Системы уравнений появляются при решении задач, в которых неизвестной является не одна величина, а несколько. Эти величины связаны определенными зависимостями, которые записываются в виде уравнений.

Способ подстановки

Если система имеет хотя бы одно решение, она называется совместной. Если решений у системы нет, она называется несовместной. Слово «несовместность» наглядно показывает, что уравнения системы накладывают несовместимые друг с другом условия, которым должны удовлетворять неизвестные. Например, система несовместна, потому что сумма чисел х и у не может одновременно равняться единице и двум.

Одним из основных способов решения систем является способ подстановки. Рассмотрим, например, систему двух уравнений с двумя неизвестными хну. Часто удается одно уравнение преобразовать так, чтобы одно неизвестное явно выражалось как функция другого. Тогда, подставляя его во второе уравнение, мы получим уравнение с одним неизвестным. Приведем примеры.

В каждой из четырех систем второе уравнение системы можно решить относительно у, т. е. преобразовать к виду y = f(x):

Подставляя y = f(x) в первое уравнение системы, получим уравнение с одним неизвестным:

Решая уравнение, находим его корни — значения неизвестного х, а затем для каждого из них находим соответствующее значение у по формуле y = f(x):

Уравнение имеет четыре корня, а система — четыре решения:

Способ подстановки возможен не всегда, а кроме того, не всегда выгоден и тогда, когда возможен. Часто из уравнений системы удается получить новое уравнение — их следствие — более простого вида. Так, в четвертом из рассматривавшихся выше примеров можно, исключив произведение ху, стоящее справа, получить:

Последнее соотношение является линейным, и из него соотношение между х и у легче находится так: у = 2х.

Важным приемом, часто позволяющим упростить систему, является замена неизвестных. Так, во втором примере полезно заменить x² на z и получить более простую систему:

Системы двух уравнений с двумя неизвестными и их решения можно изобразить графически на координатной плоскости. На рисунке 148 изображены кривые уравнений написанных выше систем. Точки пересечения кривых (а точнее, их координаты) — решения систем.

Есть некоторые типы систем, для которых известны стандартные методы решения. Рассмотрим два из них: симметричные системы и линейные системы.

Симметричные системы

Симметричными называются системы, составленные из выражений, являющихся симметричными относительно всех неизвестных. Приведем примеры различных симметричных выражений для двух неизвестных: х и у.

Решение простейшей симметричной системы основано на теореме, обратной теореме Виета: хну, удовлетворяющие указанной системе, являются корнями квадратного уравнения t² — аt + β =0. Этот вывод можно получить, подставив из первого уравнения во второе у = а — х.

Итак, для решения простейшей симметричной системы надо составить квадратное уравнение с заданными суммой и произведением корней и решить его. Найденные корни будут значениями х и у.

Составляем квадратное уравнение t² —3t —4 = 0, откуда t₁ = 4, t₂ = — 1.

Решение других симметричных систем основано на том, что всякое симметричное относительно х и у выражение можно выразить через u= х+у и v=xy.

Приведем примеры таких выражений:

Делая в симметричной системе замену х+у=u, xy = v, получаем более простую систему относительно и и и, а затем, найдя численные значения и и у, приходим к решению простейших симметричных систем:

Воспользуемся найденным выше выражением х ³ + у ³ через и и у:

Из второго уравнения v= — 1— u² подставляем в первое:

Далее решаем систему

Линейные системы

С системами линейных уравнений мы встречались ранее. В основном рассматривались системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными вида

Исследование этой системы можно повторить по информационной схеме XVI.

В практике встречаются системы линейных уравнений с большим количеством неизвестных. Так, в задачах математической экономики можно найти системы, состоящие из нескольких сотен уравнений с таким же примерно числом неизвестных. Для их решения разработаны мощные машинные методы. Эти методы в основном имитируют знакомый вам метод подстановки, которым в принципе можно решить любую такую систему. Основную роль при этом играют компактные способы записи систем и их преобразований. Представьте только себе: система из тысячи уравнений с тысячью неизвестными содержит миллион коэффициентов.

Рассмотрим более скромный пример — систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

Будем решать систему методом исключения неизвестных. Чтобы исключить х из второго и третьего уравнений, надо вычесть из них первое, умноженное соответственно на 2 и на 3.

Получим систему

Удобно умножить второе и третье уравнения на (—1), а затем из третьего уравнения вычесть второе, умноженное на 5. Получим «треугольную» систему

Из последнего уравнения находим z=1. Подставляя в предыдущее уравнение, находим у=9— 10= — 1.

Подставляя 2=1, у= — 1 в первое уравнение, получим х + 2( — 1) + 3 •1=2, откуда х=1.

Ответ: х— 1, у= — 1, 2=1.

Показанный на этом примере способ решения линейной системы называется методом Гаусса по имени великого немецкого математика, жившего в первой половине XIX в. Метод Гаусса с различными модификациями используется при решении линейных систем с помощью вычислительных машин.

Тождества

Мы определили тождество как равенство двух выражений, справедливое при всех допустимых значениях букв, входящих в эти выражения. Такая точка зрения свойственна теории функций — мы рассматриваем две части равенства как функции и называем эти части тождественно равными, если они совпадают как функции, т. е. если они при одних и тех же значениях аргумента принимают равные значения. Возможна другая точка зрения на тождества, которая более тесно связана с алгеброй.

Колмогоров Андрей Николаевич
(1903—1987) — советский математик, один из создателей и автор общепринятой системы аксиом современной теории вероятностей. Автор глубоких идей и результатов в топологии, математической логике, гидродинамике и небесной механике.
«Обобщение понятия часто бывает полезно для постижения его сущности».

А. Н. Колмогоров

В алгебре многочлен рассматривается не как функция, а как некоторое формальное выражение, составленное из одночленов. Мы умеем совершать различные операции над многочленами, не задумываясь при этом над тем, какие значения можно подставлять в многочлен вместо букв. В алгебре два многочлена равны, если после приведения подобных членов окажется, что они составлены из одинаковых одночленов, т. е. если выполняется формальное, почленное равенство. Так, проверяя тождество а³ — b³ =(a-b)(a² + ab+b²), мы совсем не занимаемся подстановкой в обе части значений а и b (тем более что неясно, сколько их надо подставлять), а преобразуем правую часть и убеждаемся, что она формально совпадает с левой.

Проверке формального совпадения многочленов может помочь их запись, принятая в качестве стандартной. Например, если многочлены от одной буквы х записывать по убывающим степеням (как мы привыкли), то тождество многочленов будет означать равенство их степеней и совпадение коэффициентов, стоящих на одинаковых местах.

Возникает естественный вопрос: как связаны между собой функциональное и алгебраическое определения тождества? Разумеется, если два многочлена равны формально, то они принимают одинаковые значения при всех значениях букв. Обратное заключение составляет содержание трудной теоремы алгебры — теоремы о тождестве. Поясним смысл этой теоремы для простейшего случая многочленов от одной буквы х.

Прежде всего заметим, что от равенства f(x)=g(x) всегда можно перейти к равенству f(x) — g (х)=0, как бы мы ни определяли понятие тождества. Это означает, что теорему о тождестве можно доказывать в таком упрощенном варианте: если многочлен F (х) при всяком значении x равен нулю, то этот многочлен нулевой, т. е. не содержит ни одного ненулевого одночлена. Если многочлен F (х) имеет степень n, то, оказывается, достаточно подставлять лишь n + 1 значение х. Иными словами, если многочлен F (х) степени n имеет n + 1 корень, то этот многочлен нулевой. В такой формулировке теорема допускает уже не очень сложное доказательство.

Итак, полезно запомнить, что ненулевой многочлен не может иметь корней больше, чем его степень. Возможна другая формулировка: если два многочлена степени n совпадают в n + 1 точке, то эти многочлены формально равны. Последняя формулировка очень полезна при доказательстве различных тождеств (см. задачи).

В применении к многочленам первой степени нам знакома геометрическая формулировка этой теоремы: через две точки проходит только одна прямая. Аналогично для совпадения двух квадратных трехчленов достаточно равенства их значений в трех точках.

Кроме равенства многочленов, можно определить равенство дробей с алгебраической точки зрения: две дроби считаются равными, если формально равны многочлены f₁(x)g₂ [x) и g₁(x)f₂ (x).

В более усложненном варианте алгебраический подход возможен и к тригонометрическим тождествам. Так, тождествам, содержащим степени sin х и cos х, можно придать условный характер: доказать тождество, используя из тригонометрии лишь соотношение sin² x+cos² х= 1. Такую задачу можно решить, делая лишь алгебраические преобразования и не вспоминая о том, что такое синус и косинус. Приведем пример условного тождества в алгебре:

Другие примеры условных тождеств приведены в задачах.

Доказательство неравенств

Наряду с тождествами — равенствами, выполняющимися тождественно,— существуют тождественно выполняющиеся неравенства, т. е. неравенства, верные при любых допустимых значениях входящих в них букв. Приведем простейшие примеры таких тождественно выполняющихся неравенств.

1) x ² ≥ 0

2) а ² + f ² + с ² ≥ 0, причем равенство нулю возможно лишь при а = b = с = 0;

3) х ² + + q>0, если p ² — 4q<0.

Задачи на доказательство неравенств (т. е. на доказательство того, что неравенство выполняется при всех допустимых значениях букв) решаются с помощью цепочки преобразований, приводящей к равносильному известному неравенству.

Пример:

Доказать неравенство , где а ≥ 0, b ≥ 0.

Делаем цепочку преобразований:

Последнее неравенство всегда верно, следовательно, всегда верно исходное.

Полученное неравенство (его называют неравенством о среднем арифметическом и среднем геометрическом двух чисел) можно применять к доказательству других неравенств. Убедитесь, например, что следующие неравенства являются следствиями доказанного:

Использование производной дает мощный способ доказательства неравенств с одной переменной. Этот способ основан на следующем соображении: если в точке Хо выполняется условие f (хо) ≥ 0 и для всех х ≥ хо выполняется условие f (х) ≥ 0, то для всех х ≥ хо верно неравенство f(x)>0 (разберитесь в справедливости сформулированного правила).

Пример (неравенство Бернулли).

Для доказательства рассмотрим функцию y = f(x), где f(x) = (1+x)^k — l — kx. Имеем f(0) = 0, f'{x) = k{1+x) ^k-1 — k = k ((1+x) ^k-1 —1). Так как x ≥ 0, k ≥ 1, то (1+x) ^k-1 ≥ 1 и f (х) ≥ 0. Значит, при х ≥ 0 функция f возрастает и при всяком х ≥ 0 имеем f(x) ≥ f(0) = 0, что и требовалось доказать.

Алгебраические уравнения

Алгебраическое уравнение — это уравнение вида

Число n называется степенью уравнения. Уравнение первой степени (или линейное уравнение) решается с помощью арифметических операций. Формула для решения уравнения второй степени (или квадратного уравнения) известна с глубокой древности. В нее входит операция извлечения квадратного корня. Решение уравнения произвольной степени в течение многих веков считалось основной задачей алгебры.

Постановка вопроса о решении алгебраического уравнения может быть различной. Почему «не решается» данное нам уравнение? Рассмотрим возможные ответы на этот вопрос.

1) Нам «не хватает» имеющихся чисел. Уравнение х ² + 2х + 5 = 0 не имеет вещественных корней. Можно, конечно, на этом утверждении остановиться. Однако полезно, как это было сделано еще в XVI в., ввести комплексные числа, с которыми вы немного знакомы. Комплексное число имеет вид a+bi, где а и b —’ вещественные числа, а символ i (мнимая единица) обозначает такое число, для которого i² = — 1. Комплексные числа x₁ = — 1 — 2i и x₂ = — 1 + 2i являются корнями написанного выше квадратного уравнения.

Если мы разрешим числу х принимать не только вещественные, но и комплексные значения, то отпадет вопрос существования корня алгебраического уравнения. В 1831 г. Гаусс доказал замечательную теорему, которую часто называют основной теоремой алгебры: всякое алгебраическое уравнение имеет хотя бы один комплексный корень.

2) Мы не можем разложить левую часть уравнения на множители. Возьмем, например, уравнение х⁵ + x + 1 =0. Не сразу бросается в глаза, что левую часть можно разложить на множители:

После разложения на множители получим уравнения меньших степеней: x² + х + 1 = 0 и x³— x² + 1=0. Однако этот прием проходит далеко не всегда. Так, многочлен х⁵ — х+1 уже нельзя разложить на множители с целыми коэффициентами. Известен алгоритм, который позволяет разложить любой многочлен с целыми коэффициентами на множители с целыми коэффициентами, если это возможно. Частный случай применения этого алгоритма мы неоднократно использовали: если многочлен хⁿ + а_n-1 х^n-1 + … + а₀ с целыми коэффициентами имеет множитель вида х — с, где с — целое число (являющееся, конечно, корнем многочлена), то свободный член а₀ делится на с. Эта теорема позволяет перебором делителей свободного члена и проверкой найти целые корни многочлена с целыми коэффициентами.

3) Мы не знаем общей формулы для корней уравнения. Простая формула корней квадратного уравнения вызывала желание математиков найти формулы корней уравнения более высокой степени. В XVI в. эта задача была решена для уравнений 3-й и 4-й степеней. Хотя эти формулы громоздки и не употребляются для реального вычисления корней, принципиальное их значение велико: они позволяют записать корни уравнений 3-й (и 4-й) степеней как некоторую функцию от коэффициентов этих уравнений. Эта функция содержит операции извлечения корней 3-й (и 4-й) степеней. Долго изучавшийся вопрос о том, существует ли формула, выражающая корни уравнения 5-й степени через его коэффициенты с помощью радикалов, получил отрицательное решение в работах Абеля (1802—1829) и Галуа (1811 —1832) в начале XIX в.

Итак, как правило, для алгебраического уравнения высокой степени мы не можем указать общей формулы его корней. Для приближенного вычисления корней используют методы анализа.

Различные приближенные методы нахождения корней уравнения часто используют следующее соображение, которое мы неоднократно отмечали раньше: если на концах промежутка функция y=f(х) принимает значения разных знаков, то внутри этого промежутка уравнение f(х) = 0 имеет корень (рис. 142). Это утверждение верно для всех непрерывных функций. С его помощью нетрудно, например, доказать, что всякий многочлен нечетной степени имеет вещественный корень. Например, кубическое уравнение х³ + ax² +bх+с = 0 всегда имеет хотя бы одно решение, так как левая часть при больших по модулю и отрицательных х меньше нуля (слагаемое х³ «перевесит» все остальные), а при положительных больших х станет больше нуля.

Для разрывных функций сформулированное утверждение может оказаться неверным, как показывает простой пример функции не имеющей корней, но принимающей значения разных знаков.

Уравнения, тождества, неравенства: определения и классификация

Уравнением называется равенство двух математических выражений с одной или несколькими переменными. В математике рассматриваются два вида равенств — тождества и уравнения. Тождество — это равенство, которое выполняется при всех допустимых значениях входящих в него букв. Для записи тождества наряду со знаком обычного равенства «=» также используется знак тождественного равенства В отличие от тождества уравнение — это равенство, которое выполняется лишь при некоторых значениях входящих в него букв или даже не выполняется никогда. Используемые при записи уравнения буквы бывают двух видов; те буквы, значения которых требуется отыскать, называют неизвестными (например, x,y,z,…) или переменными. Другие называют коэффициентами или параметрами. В зависимости от числа неизвестных уравнение называют уравнением с одной, двумя и т.д. неизвестными. Два математических выражения, связанные одним из знаков «<» (меньше), «>» (больше), (меньше либо равно), (больше либо равно), (не равно), образуют неравенство.

В общем виде уравнение с одним неизвестным имеет представление

где f(x) некоторая функция неизвестной x. Областью (множеством) допустимых значений (ОДЗ) неизвестной x в этом случае называют область определения функции f (х). Значения неизвестной x из области допустимых значений уравнения, обращающие уравнение в верное тождество, называют решениями (корнями) уравнения. Уравнение считается решённым, если найдены все его решения или показано, что оно не имеет решений. Аналогично всякое значение неизвестной x из области допустимых значений неравенства, обращающее неравенство в верное числовое неравенство, называется решением неравенства. Все решения неравенства образуют множество его решений.

Если у= f(x) — одна из основных элементарных функций, b — некоторое действительное число, то уравнение f(x) = b принято называть простейшим уравнением. Например, при уравнение называется простейшим степенным уравнением, в частности при уравнение носит название простейшего целого алгебраического уравнения, а простейшего дробного алгебраического уравнения; при уравнения и называются соответственно простейшими показательным и логарифмическим уравнениями; уравнения , — простейшими тригонометрическими уравнениями; уравнения — простейшими уравнениями с обратными тригонометрическими функциями и т.д.

Пример:

Найти все значения а, при каждом из которых множество решений неравенства содержит точку x = 1.

Решение:

Число x = 1 является решением неравенства тогда и только тогда, когда

Ответ:

Рассмотрим простейшую классификацию уравнений (неравенств), изучаемых в школьном курсе. В алгебраических уравнениях над неизвестными совершаются, и притом в конечном числе, лишь операции сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в целую степень и извлечения корня. Если над неизвестными совершаются и другие операции, например возведение в иррациональную степень, взятие логарифма или синуса, или же перечисленные выше математические операции совершаются бесконечное число раз, то уравнение называется трансцендентным. В рациональных уравнениях отсутствует операция извлечения корня из выражения, содержащего неизвестные. В целых уравнениях отсутствует операция деления на выражение, содержащее неизвестные, а в дробных — такое деление есть.

Например: — дробно-рациональное уравнение с двумя неизвестными; — иррациональное неравен-ство с одним неизвестным; — целое рациональное уравнение 3-й степени с одним неизвестным; — дробно-рациональное неравенство с одним неизвестным; — трансцендентное уравнение с одним неизвестным.

Любое целое рациональное алгебраическое уравнение с одним неизвестным x степени n после преобразований можно привести к стандартному виду:

где , — коэффициенты уравнения, -старший коэффициент, — свободный член.

Пример:

Найти сумму коэффициентов многочлена, который получится после раскрытия скобок и приведения подобных членов в выражении:

Решение:

Конечно, никто не ожидает от вас на экзамене, что вы начнёте раскрывать скобки и приводить данный многочлен к стандартному виду. У этой задачи существует оригинальное и очень простое решение. Обозначим данный многочлен через f (х). Тогда искомая сумма его коэффициентов равна f(l) (объясните, почему). В нашем случае

Ответ: сумма коэффициентов равна 1.

Пример:

Для каких значений параметра р отношение суммы коэффициентов многочленак его свободному члену минимально?

Решение:

Поскольку сумма коэффициентов данного многочлена равна его значению в точке x = 1, а его свободный член, как несложно увидеть, равен , то рассматриваемое отношение имеет вид Это выражение неотрицательно при всех действительных значениях р и достигает наименьшего значения, равного нулю, только при р = 7 .

Пример:

Привести пример алгебраического уравнения с целыми коэффициентами, одним из корней которого является число

Решение:

Рассмотрим равенство как алгебраическое уравнение первой степени относительно неизвестной x. Это уравнение не удовлетворяет условию задачи, так как его свободный член (число )иррационален. С целью избавления от иррациональности возведём данное равенство в квадрат, перейдя к следствию

Уединим радикал и еще раз возведем в квадрат

Благодаря операции возведения в квадрат удалось добиться того, чтобы все коэффициенты уравнения стали целочисленными. Полученное уравнение 4-й степени удовлетворяет условию задачи.

Замечание:

Эта задача имеет не единственный ответ. Любое алгебраическое следствие уравнения , например уравнение

также можно было бы предъявить в качестве ответа.

Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:

Предмет математика

Эти страницы возможно вам будут полезны:

Неравенство между средним арифметическим и средним квадратичным

Задачи на доказательство различных алгебраических неравенств

Равносильность и следствие. Определение равносильности и следствия в математике

Примеры равносильных преобразований

ГЛАВА VII
УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ОДНИМ
НЕИЗВЕСТНЫМ

Уравнения и неравенства первой степени с одним неизвестным

Два свойства уравнений

Мы много раз пользовались уравнениями и знаем, что они очень полезны для решения различных задач. Чтобы успешно, пользоваться уравнениями, надо хорошо знать их свойства и изучить различные приемы их решения..

Решение уравнений — один из основных вопросов курса алгебры. К этому вопросу мы будем возвращаться несколько раз. Сейчас рассмотрим два основных свойства уравнений.

Свойство:

Если к обеим частям уравнения прибавить
одно и то же число или один и то же многочлен относительно неизвестного, то полученное в результате этого новое уравнение имеет те же и только те же решения, что и исходное уравнение.

Или, другими словами: уравнение не теряет и не приобретает решения, когда к обеим частям его прибавляется одно и то же число или один и тот же многочлен относительно неизвестного.

Разъясним сначала, почему уравнение щ может потерять решение когда к обеим частям его прибавляется одно и то же число или один и тот же многочлен относительно неизвестного.

Рассмотрим уравнение

Это уравнение имеет решение x = 5. При х = 5 уравнение (1) превращается в тождество 6 = 6. Прибавим теперь к каждой части уравнения (1) по 20, получим новое уравнение

После замены в уравнении (2) буквы х числом 5 каждое из выражений, заключенных в скобки, дает в результате опять 6, и таким образом мы в каждой части получим 26. Разница между уравнением (1) и уравнением (2) заключается лишь в том, что при x = 5
уравнение (1) превращается в тождество 6 = 6, а уравнение (2) превращается в тождество 26 = 26.

Если бы к каждой части уравнения (1) прибавили не по 20, а по —200, новое уравнение опять при х=Ь превратилось бы в тождество. Различие между этим уравнением и уравнением (1) заключалось бы только в том, что в каждой части нового уравнения получилось бы по —194, а не по 6, как в уравнении (1).

Если бы мы к каждой части уравнения прибавили по многочлену , новое уравнение опять при х=5 превратилось бы в тождество 38 = 38 (многочлен при х = 5 принимает значение 32).

Выходит, что решение лг = б не теряете», когда к каждой части уравнения (1) прибавляется одно и то же число или один и тот же многочлен относительно неизвестного.

То, что мы показали на уравнении (1), можно также показать и на каком угодно другом уравнений. Так как вычитание любого числа и любого многочлена можно заменить сложением, уравнение не может потерять решение и тогда, когда от каждой части его отнимается одно и то же число или один и тот же многочлен относительно неизвестного.

Разъясним теперь, почему уравнение не может приобрести решение, когда к обеим частям его прибавляется одно и то же число или один и тот же многочлен относительно неизвестного. Рассмотрим
опять уравнение (1) и (2) и выясним, почему при переходе от уравнения (1) к уравнению (2) мы не могли приобрести решения.

Для того чтобы от уравнения (2) перейти к уравнению (1), достаточно от каждой части его отнять по 20 (или к каждой части прибавить по —20). Значит, при переходе от уравнения (2) к уравнению (1) мы не можем потерять решение.

Допустим теперь, что при переходе от уравнения (I) к
уравнению (2) мы приобрели какое-нибудь решение (скажем, x=2,5). Тогда при переходе от уравнения (2) назад к уравнению (1) мы должны потерять это решение, а это невозможно.

Замечание:

Так как буквы в алгебре обозначают числа, все сказанное об уравнениях с числовыми коэффициентами относится также и к уравнениям с буквенными коэффициентами.

Покажем, на примерах, как свойство 1 можно применять к решению уравнений.

Пример:

Решить уравнение х— 7 = 11.

Решение:

Прибавим к каждой части уравнения по 7, получим x = 18.

Пример:

Решить уравнение х + 30 = 10.

Решение:

Вычтем из каждой части уравнения по 30 (или прибавим по —30). Получим х = — 20

Пример:

Решить уравнение х — а=b.

Решение:

Прибавим к каждой части уравнения а, получим х = b+a

Следствие из свойства 1 уравнений. Любой член
уравнения можно перенести из одной части е другую, изменив при этом его знак на противоположный.

Это утверждение справедливо для любых уравнений. Чтобы упростить изложение, мы проведем его на частном примере.

Дано уравнение

Покажем, что —2х можно перенести с противоположным знаком в левую часть, т. е. покажем, что при переходе от уравнения (3) к уравнению

ни одно решение не теряется и не приобретается.

К каждой части уравнения (3) прибавим 2х, получим уравнение (4). На оснований свойства 1 уравнений переход от уравнения (3) к уравнению (4) происходит без потери и приобретения решений.

Все сказанное относительно —2х можно повторить относительно любого другого члена уравнение (3).

Этим свойством уравнений широка пользуются при решении уравнений. Именно, решая уравнения, часто переносят члены, содержащие неизвестные, в одну часть, а известные — в другую. Поясним это примером.

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Перенесем неизвестные члены в левую часть, а известные в правую, получим

отсюда

Свойство:

Если обе части уравнения умножить или
разделить на какое-нибудь число, отличное от нуля, то полученное в результате этого новое уравнение имеет те же и только те же решения, что и исходное уравнение.

Иными словами: уравнение не приобретает и не теряет решений от того, что обе части его умножены или разделены на одно и то же число, отличное от нуля.

Прежде чем разъяснить свойство 2, заметим, что его достаточно разъяснить для умножения, так как деление можно всегда заменить умножением на обратное число.

Мы и здесь, как и при разъяснении свойства 1, сначала расскажем, почему при умножении (или делении) обеих частей уравнения на одно и то же число, отличное от нуля, ни одно решение не может быть потеряно. После этого разъяснится и то, что ни одно решение не может быть при этом приобретено..

Возьмем какое-нибудь уравнение. Все, что будет показано на этом уравнении, можно показать и на любом другом уравнении.

Уравнение

имеет решение х = 6. Действительно, при x=Q уравнение
превращается в тождество 10 = 10.

Умножим каждую часть уравнения (5) на 20, получим уравнение

При х = 6 уравнение (6) тоже превращается в тождество

20.10 = 20-10.

Если бы мы умножили обе части уравнения на ,мы получили бы уравнение, которое при x = 6 превращается в тождество

Выходит, что решение x=6 не теряется при умножении или делении каждой части уравнения (5) на одно и то же число.

От уравнения (6) можно, перейти обратно к уравнению (5) посредством умножения каждой части его

Ясно поэтому, что при переходе от уравнения (6) к уравнению (5) не может быть потери решения,

Отсюда вытекает, что при переходе от уравнения (5) к
уравнению (6) не могло быть и приобретения решения, Здесь опять, как и при изучении свойства 1, важно понять, что решения, приобретенные при переходе от уравнения (5) к уравнению (6), должны были бы
потеряться при обратном переходе, а потеря решения здесь невозможна.

Замечание:

Рассмотрим уравнение

Оно имеет единственное решение х = 6. Умножим каждую часть его на нуль. Получим

Уравнению (8) удовлетворяет не только х = б, но и любое другое значение х. (Например, положим х = 1 000, получим тождество )

Выходит, что при переходе от уравнения (7) к уравнению (8) мы приобрели бесконечное множество решений. Вот почему в формулировке свойства 2 указано, что число, на которое умножаются обе части уравнения, должно быть отлично от нуля.

Замечание:

Так как буквы в алгебре обозначают числа, все сказанное об уравнениях с числовыми коэффициентами относится также и к уравнениям с буквенными коэффициентами. При этом необходимо только следить, за тем, чтобы при умножении обеих частей уравнения на буквенное выражение не вкралось умножение на нуль (Дело в том, что буквенные выражения могут при некоторых значениях входящих в них букв равняться нулю.)

Покажем на примерах, как свойство 2 можно применять к решению уравнений.

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Разделим обе части уравнения на 2 получим

Пример:

Решить уравнение 15 — x = 20.

Решение:

Перенесем 15 в правую часть, получим

Умножим теперь обе части уравнения на —1,получим

Пример:

Решить уравнение ах=b.

Решение:

Если то, разделив обе части уравнения на а, получим

Если же а = 0, то уравнение имеет вид и тогда, если уравнение решений не имеет, если же b = 0, уравнение есть тождество, так как ему удовлетворяет любое значение х.

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Здесь так как иначе уравнение не имеет смысла. Умножив обе части уравнения на a, получим х = аb.

Понятие о равносильности уравнений

Определение:

Если каждое решение одного из уравнений является решением другого и каждое решение второго уравнения является решением первого, уравнения называются равносильными.

Пример:

Уравнение

имеет единственное решение x=11 Уравнение

имеет также единственное решение x=11 . Уравнение (1) и (2) равносильны.

Пример:

Уравнение

имеет два решения: Уравнение

имеет также два решения: Уравнение (3) и (4) равносильны

Пример:

Уравнения

и

не равносильны. Действительно, уравнение (5) имеет два решения: а уравнение (6) имеет три решения: таким образом, каждое решение уравнения (5) является решением уравнения (6), но не каждое решение уравнения (6) является решением уравнения (5).

Теперь основные свойства уравнений можно сформулировать так:

Свойство:

Если к обеим частям уравнения прибавить
одно и то же число или один и тот же многочлен относительно неизвестного, то полученное в результате этого новое уравнение равносильно данному.

Свойство:

Если обе части уравнения умножить или
разделить на какое-нибудь число, отличное от нуля, то полученное в результате этого новое уравнение равносильно данному.

О некоторых преобразованиях уравнения, которые могут привести к потере или приобретению решений

При внимательном рассмотрении свойств 1 и 2 уравнений (§ 1) могут возникнуть два вопроса:

1. В § 1 говорится о прибавлении к обеим частям уравнения многочленов относительно неизвестного. А что произойдет с решениями уравнения, если к обеим частям его прибавить не многочлен относительно неизвестного, а выражение, содержащее неизвестное в знаменателе?
2. В § 1 говорится об умножении и делении обеих частей уравнения на любое число. А что произойдет с решением уравнения, если обе части его умножить или разделить на одно и то же выражение, содержащее неизвестное?

Мы сейчас приведем примеры, которые и помогут нам ответить на эти вопросы.

Пример:

Уравнение

имеет решение х = 8. Уравнение

полученное из уравнения (1) прибавлением к каждой части выражения , не имеет решения х = 8, так как при этом значении равенство (2) не имеет смысла. При переходе от уравнения (1) к уравнению (2) решение x = 8 потеряно, при обратном переходе от уравнения (2) к уравнению (1) решение х=8 приобретается.

Теперь ясно, почему в § 1 шла речь о прибавлении многочленов от неизвестного.

Пример:

Уравнение

имеет единственное решение x= 3. Уравнение

полученное из уравнения (3) умножением обеих частей на х — 2, имеет два решения: . При переходе от уравнения (3) к уравнению (4) приобретено решение x = 2. От уравнения (4) мы можем перейти к уравнению (3) делением обеих частей уравнения на х- 2. При этом решение x = 2 будет потеряно.

Теперь ясно, почему, в § 1 говорится об умножении и делении обеих частей уравнения на число, а не на выражения, которые содержат неизвестное.

Дело в том, что, умножая обе части уравнения на х — 2, мы умножаем их не на определенное число, а на выражение, которое при разных значениях х имеет разные значения и среди этих значений содержится нуль (при x = 2 выражение х — 2 равно нулю). Мы же знаем, что умножение обеих частей уравнения на нуль
приводит к приобретению решений (см. § 1).

При делении на х — 2 мы теряем решение потому, что в
выражении х — 2 скрыты разные значения и среди них содержится 0, на который делить нельзя.

Все сказанное здесь приводит к следующим выводам:

1. Прибавление к обеим- частям уравнения выражения, содержащего неизвестное в знаменателе, может привести к потере и приобретению решений. При этом потерянными и
   приобретенными решениями могут быть только те значения неизвестного, при которых знаменатель этого выражения равен нулю.
2. Умножение обеих частей уравнения на многочлен от неизвестного может привести к приобретению решений. При этом приобретенными решениями могут быть только те значения неизвестного, при которых этот многочлен равен нулю.
3. Деление обеих частей уравнения на<многочлен от
   неизвестного может привести к потере решений. При этом потерянными решениями могут быть только те значения неизвестного, при которых этот многочлен равен нулю.

Задача:

Обе части уравнения умножены на х — 3. Могло ли уравнение при этом приобрести решение. x = 5?

Ответ. Нет, так как при x = 5 выражение x —3 отлично от нуля.

Задача:

Какие решения может потерять уравнение, когда обе части его делят на (x— 2)(x— 7)?

Ответ. Уравнение может потерять решения x = 2 и x = 7, так как только при этих значениях x выражение (х — 2)(x—-7) равно нулю.

Решение уравнений

При решений уравнений можно поступать по следующему правилу:

1. Освободить уравнение от дробей.
2. Раскрыть скобки.
3. Перенести все члены, содержащие неизвестные, в одну часть уравнения (в левую), а известные в другую.
4. Сделать приведение подобных членов. В случае если неизвестное входит в несколько членов с буквенными коэффициентами, вынести неизвестное за скобки.
5. Если в результате этих преобразований получится урaвнение вида ax = b, то разделить обе части этого уравнения на коэффициент при неизвестном (а), не допуская деления на нуль.

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Умножим обе части уравнения на 20 (20 — общее наименьшее кратное знаменателей)

Раскрыв скобки, имеем

Приведем подобные члены в каждой части уравнения

Перенесем в левую, а — 61 в правую часть. Получим.

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Чтобы освободить уравнение от дробей, умножим обе части его на (a + b) (а — b). Выражение (a + b) (а — b) отлично от нуля, так как иначе а+ b=0 или а — b= 0, и тогда уравнение (1) не имело бы смысла. Получим

Раскроем скобки

Перенесем неизвестные в левую, а известные в правую часть

(Можно упростить решение, вычеркнув сразу после раскрытия скобок из каждой части уравнений одинаковые слагаемые ах и ab,) Приведем подобные члены

Теперь нам. следует делить oбе части уравнения на 2b. Это можно делать только в том случае, если Предположим, что Тогда

Если b=0, уравнение (1) принимает такой вид:

Это уравнение, очевидно, не имеет решения.

Ответ. Если , Если b = 0,
уравнение решений не имеет.

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Умножим обе части уравнения на abc. Выражение abc отлично от нуля, так как иначе уравнение не имело бы смысла. Получим

Вынесем х за скобки, получим

Предположим, что

тогда

Случай, когда ab+bc+ca = 0, представляет некоторые трудности для исследования, и потому мы оставим его без рассмотрения.

Ответ. Если то

О числе решений уравнения первой степени с одним неизвестным

Определение:

Уравнением первой степени с одним
неизвестным называется такое уравнение, которое после освобождения его от дробей, раскрытия скобок, перенесения всех членов в одну часть и приведения подобных членов принимает вид

где а и b — известные числа, а — называется коэффициентом при неизвестном, b — свободным членом.

Пример:

Уравнения, рассмотренные в § 4, — уравнения первой степени с одним неизвестным.

Уравнение первой степени с одним неизвестным либо имеет единственное решение, либо совсем не имеет решения, либо имеет бесконечное множество решений.

1. Если коэффициент при неизвестном в уравнении первой степени с одним неизвестным отличен от нуля, уравнение имеет решение и притом единственное.
   Пример. Уравнение З х + 2 = 0 имеет единственное решение Пример. Уравнение 2x=0 имеет единственное решение х=0.
2. Если коэффициент при неизвестном в уравнении первой степени с одним неизвестным равен нулю, а свободный член неравен нулю, уравнение не имеет решения.
   Пример. Уравнение 0 х + 1 = 0 не имеет решения, так как при любом значении х произведение 0х равно 0 и 0 + 1 =1.
3. Если коэффициент при неизвестном и свободный член в уравнении первой степени с одним неизвестным равны нулю, уравнение имеет бесконечное множество решений. Всякое число
   является решением такого уравнения. В самом деле, уравнению 0 • x +0 = 0 удовлетворяет любое
   число, так как произведение любого числа и нуля равно нулю и 0 + 0 = 0.

Уравнения, содержащие неизвестное в знаменателе

К уравнениям первой степени с одним неизвестным приводятся и некоторые уравнения, содержащие неизвестное в знаменателе. Они решаются по тому же правилу, что и уравнения, не содержащие неизвестное в знаменателе.

Нужно только иметь в виду, что при освобождении такого уравнения от дробей приходится обе части его умножать на многочлен от неизвестного, и потому возможно приобретение решений или, как говорят, возможно появление посторонних решений.

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Умножим обе части уравнения на
Получим

Раскрываем скобки

Отсюда

Так как при умножении на мы могли ввести посторонние решения, мы обязаны проверить полученный ответ. Подставим 8 вместо х в исходное уравнение. Имеем

Проверка показала, что х = 8 есть решение уравнения. Таким образом, мы посторонних решений не ввели. Впрочем, это можно было установить и проще: при х = 8 выражение отлично от нуля, и потому х = 8 не может быть посторонним решением.

Ответ. x = 8.

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Умножим обе части уравнения на (x + 2)(x + 3).
Получим

При x = —2 уравнение не имеет смысла. Таким образом, х = —2 есть постороннее решение.

Ответ. Уравнение решений не имеет.

Решение задач при помощи уравнений. Понятие об исследовании задачи

Задачи, которые . приходится решать при помощи уравнений, весьма разнообразны и весьма разнообразны способы их решения. Поэтому нельзя дать общее правило, руководствуясь которым можно
было бы, не задумываясь, решить любую задачу при помощи уравнений. Часто бывает так, что способ, который с успехом применялся в решении одной задачи, непригоден для решения другой. Каждая задача требует для ее решения сообразительности,
изобретательности.

Научиться решать задачи можно только на практике. Чем больше мы будем решать задач, чем больше будем думать над их решением, чем больше будем стараться изобретать различные способы их решения, тем больше мы разовьем свою сообразительность, тем лучше будем решать задачи.

Мы сейчас для примера рассмотрим несколько задачки расскажем, как эти задачи решаются.

Рекомендуем внимательно рассмотреть эти решения и на них учиться самостоятельному решению задач.

Задача:

Определить расстояние между пунктами А и В, если велосипедист, делающий по 15 км в час, проезжал это расстояние на 2 мин. скорее, чем другой велосипедист, проезжающий по 12 км в час?

Решение:

Обозначим буквой х расстояние между А и В (в
километрах). Первый велосипедист проехал это расстояние в час, второй в час. По условию, на меньше, чем . Значит,

Уравнение составлено. Из него имеем

Проверка. Первый велосипедист 2 км проезжает в часа, т. е. в 8 мин. Второй велосипедист 2 км проезжает в часа, т. е. в 10 мин. Значит, первый велосипедист на 2 мин. скорее проходит это расстояние, чем второй. Задача решена правильно.

Ответ. 2 км.

Замечание:

Рекомендуем обратить внимание на следующее:

1. Буквой х в рассмотренной задаче мы обозначили искомую величину. Так можно поступать при решении многих задач. В дальнейшем, мы покажем, что иногда лучше поступать иначе и обозначать буквой л: другую величину, которая не является искомой.
2. В рассмотренной задаче мы имели дело с двумя величинами, из которых одна на некоторое количество меньше другой При составлении уравнения мы к меньшей из величин добавили соответствующее количество и полученную сумму приравняли большей. Вместо этого мы могли бы из большей величины вычесть соответствующее количество и полученную разность приравнять меньшей.

Задача:

Самолет летел сначала со скоростью 180 км в час. Когда ему осталось пролететь на 320 км меньше, чем он пролетел, он стал лететь со скоростью 250 км в час. Средняя скорость на всем пути оказалась равной 200 км в час. Сколько всего километров пролетел самолет?

Решение:

Обозначим буквой х расстояние (в километрах), которое самолет пролетел со скоростью 180 км в час. Тогда ему осталось после этого пролететь (х— 320) км. Всего самолет пролетел

Так как средняя скорость оказалась равной 200 км в час, самолет на весь путь потратил

На первую часть пути он потратил час, а на вторую часть час Значит, на весь путь он потратил

Мы получили два различных выражения для времени (в часах), которое самолет потратил на весь путь. Выходит, что

Уравнение составлено. Имеем

Умножим обе части уравнения на 4500, получим

Отсюда

Итак, первая, часть пути составляет 720 км, вторая 400 км (720 — 320 = 400 км), Значит, весь путь составляет 1120 км.

Проверка. На первую часть пути самолет потратил 4 часа На вторую часть пути он потратил 1,6 часа На весь путь самолет потратил 5,6 часа. Средняя скорость выходит равной (км в час). Задача решена правильно.

Ответ. 1120 км.

Замечание:

Рекомендуем обратить внимание на следующее: буквой х мы обозначили здесь не искомую величину (все расстояние, которое пролетел самолет), а другую величину (первую часть этого расстояния). Мы поступили так потому, что при таком обозначении проще составить уравнение и, кроме того, потому, что, зная первую часть расстояния, нетрудно найти и все расстояние.

Впрочем, можно обозначить буквой х и все расстояние в километрах. Тогда для определения первой и второй части расстояния надо х разделить на 2 части так, чтобы одна была на 320 больше другой. Делается это так: от х отнимается 320 и полученная разность делится на 2, получается ,это меньшая из частей. Для отыскания большей части надо к х сначала прибавить 320, а потом полученную сумму разделить на 2, получим

есть количество часов, потраченных на первую часть пути.

есть количество часов, потраченных на вторую часть пути.

есть количество часов, потраченных на весь путь, т. е

Решив это уравнение, получим х = 1120, т. е. тот же ответ, что и раньше. Из этого примера видно, что простота решения задачи зависит от того, насколько удачно выбрана величина, обозначаемая буквой х.

Задача:

Ученики собрали 3 кг 200 г семян белой акации,
желтой акации, клена и липы. Сколько семян каждого вида в отдельности собрали ученики, если семян белой акации они собрали в 3 раза больше, чем семян липы; семян клена собрано в 2 раза больше, чем семян белой акации и липы вместе, а семян желтой акации на 1 кг 200 г больше, чем семян клена?

Решение:

Мы должны определить четыре неизвестных величины: количество семян белой акации, желтой акации, клена и липы. При внимательном рассмотрении условия задачи видно, что, если бы мы узнали количество семян липы, нам нетрудно было бы узнать и остальные неизвестные величины.

Предположим, что семян липы собрано х г. Тогда семян белой акации собрано 3 х г. Семян клена собрано 2(x+3х) = 8х г. Семян желтой акации собрано (8х+1200)г,

Теперь нетрудно подсчитать, сколько собрано всех семян. Для этого достаточно сложить [х+Зх+8х(8х+1200)] г. Но, по условию, всех семян собрано 3200 г. Значит,

Или

Теперь нетрудно написать и ответ: семян липы собрано 100 г, семян белой акации — 300 г, семян клена — 800 г, семян желтой акации — 2 кг. Проверка ответа не представляет труда.

На примере этой задачи видно, что посредством уравнений с одним неизвестным можно решать не только задачи с одной искомой величиной, но и такие задачи, в которых имеется несколько искомых величин.

Задача:

Периметр треугольника 44 см. Стороны треугольника относятся как 10:7:5. Определить стороны треугольника.

Решение:

Пусть меньшая сторона треугольника равна 5х см. Тогда средняя сторона этого треугольника равна 1х см, а бoльшая сторона равна 10x см. По условию,

Значит,

Выходит, что меньшая сторона треугольника равна 10 см, средняя 14 см, а большая 20 см. Нетрудно проверить, что задача решена правильна

Ответ. 10 см;14 см; 20 см.

Замечание:

При решении последней задачи рекомендуем обратить внимание на следующее:..
1) В задаче три искомые величины, но мы их выразили через одно неизвестное х.
2) Буквой х (в см) мы обозначили часть меньшей стороны.
Конечно, можно было бы обозначить буквой х и всю меньшую сторону, но тогда средняя сторона была бы равна x, бoльшая 2х. Как видно, в уравнении появились бы дроби, и от этого решение стало бы несколько сложнее.

Задача:

В комнате № 1 общежития живут 9 человек, а в
комнате № 2 — 6 человек. Сколько человек надо переселить из комнаты № 1 в комнату № 2, чтобы в каждой комнате проживало по одному и тому же числу людей?

Решение:

Обозначим буквой х искомое количество людей. Тогда

Мы не напишем в ответе, что надо переселить 1,5 человека, так как это было бы бессмысленно. Мы должны сказать, что задача не имеет решения.

Ответ. Задача не имеет решения.

Задача:

Числитель дроби составляет знаменателя. После того как к числителю прибавили 5, а к знаменателю 15, дробь стала равной Найти дробь:

Решение:

Обозначим знаменатель дроби буквой х. Тогда числитель ее будет x. По условию,

или

Ответ. Дроби, удовлетворяющей условию задачи, не существует.

Задача:

Сумма цифр двузначного числа равна 14. Если к этому числу прибавить 72,, то в результате получается число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найти число.

Решение:

Обозначим Цифру десятков искомого числа буквой х. Тогда цифра единиц этого числа равна 14 — x. Имеем

или

Выходит, что цифра десятков искомого числа равна 3, а цифра единиц равна 11.

Ответ. Так как цифра не может быть больше 9,
задача решения не имеет.

Задача:

Одна машинистка может выполнить некоторую работу за 5 час. Во сколько часов может выполнить эту работу вторая машинистка, если, работая совместно, обе машинистки выполнили ту же работу в 6 час?

Решение:

Предположим, что вторая машинистка может
выполнить эту работу в х час. Тогда в 1 час она выполнит часть работы. Первая машинистка в час выполняет часть работы. Обе машинистки, работая совместно, выполняют в час часть работы или часть работы. Значит,

Ответ. Так как искомое чрсло часов не может быть отрицательно, задача решения не имеет.

Обратим .внимание на следующее. Уравнения, к которым приводили последние четыре задачи, имеют решения, а задачи все же не имеют решения, В первой из этих задач оказалось, что искомое число людей должно быть дробным; в-следующей задаче оказалось, что знаменатель дроби должен быть равен 0; в предпоследней задаче оказалось, что число единиц двузначного числа больше 9, в последней задаче
оказалось, что машинистка выполняет некоторую работу в отрицательное число часов.

Отсюда вытекает, что всякое решение требует еще и проверки его по смыслу. Мало того, крайне важно выяснить: почему данная задача не имеет решения, где в условии задачи кроются х причины, в силу которых задача не имеет решения, при каких численных данных подобная задача имеет решение.

Такая работа над задачей называется исследованием задачи.

Проведем, исследование рассмотренных четырех задач.

Исследование первой з а д а ч и. Дробное число людей,
которых надо переселить из одной комнаты в другую, возникло потому, что в одной комнате проживает чётное число людей, а в другой нечетное. Если бы числа проживающих в этих комнатах людей были одной четности, отрет был бы выражен целым числом. При этом, если в комнате № 1 живет больше людей, чем в комнате № 2, в ответе будет целое положительное число. Если в обеих комнатах живет по одинаковому числу людей, в ответе будет 0, и такой ответ означает,
что никого переселять из одной комнаты в другую не надо. Если, наконец, в комнате № 1 проживает меньше людей, чем в комнате № 2 в ответе получится целое отрицательное число, и такой ответ означает, что переселять надо не из комнаты № 1 в комнату № 2, а наоборот— из второй в первую»

Исследование второй задачи. Знаменатель дроби оказался равным нулю, потому что Если бы отношение чисел, прибавленных к числителю и знаменателю дроби, было не равно , знаменатель искомой дроби был бы отличен от нуля и задача имела бы решение.

Исследование третьей задачи. Двузначных-чисел, сумма, цифр которых 14, существует всего пять: 59, 68, 77, 86 и 95. Если к любому из них прибавить 72, в результате получится не двузначное, а трехзначное число. Если в условии задачи заменить число 72
числом 36, задача будет иметь решение, так как 95 — 59 = 36, Точно так же задача будет иметь решение, если, в условии ее число 72 заменить числом 18, так как 86 — 68 = 18.

Исследование четвертой задачи. Отрицательный ответ
получился потому, что по условию две машинистки, работая совместно, тратят на- выполнение работы больше времени (6 час), чем одна машинистка (5 час). Так могло бы быть, если бы вторая машинистка
не помогала первой, а уничтожала бы работу, выполненную первой машинисткой. Для того чтобы задача имела решение, достаточно число 6 в условии заменить каким-нибудь положительным числом, меньшим 5, или число 5 заменить числом, большим 6. Можно, конечно, сразу заменить и оба числа, только при -этом нужно, чтобы вдвоем машинистки меньше тратили времени на работу, чем одна.

Задача:

На трех складах находится 300 куб. м дров. На первом складе 110 куб. м. На втором складе на несколько куб, метров больше, чем на первом, а на третьем складе на столько же куб. метров меньше, чем, на первом. Сколько куб. метров дров на каждом складе?

Решение:

Пусть на втором складе на х дров больше, чем на первом. Тогда

Выходит, что

т. е.

Уравнение не имеет решения.

Ответ. Задача не имеет решения.

Последняя задача не имеет решения, и этим она похожа на предыдущие четыре задачи. Однако здесь есть и различие. Это различие заключается в том, что предыдущие задачи приводили ю уравнениям, которые имели решения, но эти решения не подходили по смыслу. Последняя же задача привела к уравнению, которое не имеет решения.

Исследование задачи. Где в условии кроется причина того, что задача не имеет решения? По смыслу задачи на втором и на третьем складах вместе должно быть дров вдвое больше, чем на первом. Значит, на первом складе должно быть всех дров. Выходит,
что либо надо 300 заменить на 330, либо надо 110 заменить на 100, либо заменить оба числа так, чтобы одно было в 3 раза больше другого. Заменим, например, 300 на 330, тогда получим уравнение

или

Этому уравнению удовлетворяет любое число. Выходит, что задача имеет бесконечное число решений. По смыслу задачи х может быть любым числом, абсолютная величина которого не превосходит 110.

Все сказанное по поводу решения задач при помощи уравнений приводит к следующему выводу.

Решение задачи при помощи уравнений состоит из четырех частей:

1) составления уравнения,
2) решения уравнения,
3) проверки,
4) исследования.

Наиболее трудная часть работы заключается в составлении уравнения. При составлений уравнения большое значение имеет удачный или неудачный выбор величины для обозначения ее буквой. Большое
внимание требуется и при исследовании решения.

Применение уравнений к решению задач в общем виде

Мы рассмотрели ряд задач с числовыми данными. Известно, однако, что особый интерес представляют задачи в общем виде, т. е. задачи с буквенными данными. Так как буквы обозначают у нас числа, решение задач с буквенными данными ведется так же, как и задач с числовыми данными, только всякий раз нужно исследовать решение. Покажем это на примере.

Задача:

Отцу 40 лет, сыну 10 лет. Через сколько лет отец будет в n раз старше сына?

Решение:

Предположим, что через х лет отец будет в n раз старше сына. Через х лет отцу будет (40 + x) лет, а сыну (10 +x ) лет. Значит,

Уравнение составлено. Решая его, имеем:

По смыслу задачи n > 1, поэтому знаменатель — всегда
положительное число. Что касается числителя, то при x < 4 числитель положителен, при n = 4 числитель равен 0, при n > 4 числитель отрицателен. Исследование показывает, что возможны три случая:

Случай 1. n < 4. Задача имеет положительное решение.
Найденное выражение для х дает искомый ответ. Пусть, например, x = 2, тогда х = 20. Действительно, через 20 лет отцу будет 60 лет, а сыну 30 и отец будет вдвое старше сына.

Случай 2. n = 4. В этом случае x = 0. Такой ответ означает, что отец сейчас в 4 раза старше сына.

Случай 3. n > 4. В этом случае задача имеет отрицательное решение, которое означает, что | x | лет назад отец был в n раз старше сына. Пусть, например, n = 6. Тогда x = —4; х = 4. Действительно, 4 года назад отцу было 36 лет, сыну 6 лет, и отец был в 6 раз старше сына.

Понятие о неравенстве

При исследовании уравнений с буквенными коэффициентами приходится решать такие задачи:

Даны два алгебраических выражения, зависящие от одной или нескольких букв. Требуется узнать, при каких значениях этих букв одно из данных выражений больше или меньше другого. Например, исследуя задачи из § 8, мы должны были узнать, при каких значениях n выражение 40—10n является положительным числом и при каких значениях n это выражение является отрицательным числом. Иными
словами, нам нужно было узнать, при каких значениях n

и при каких значениях n

В таких случаях говорят, что нам нужно было решить два неравенства: 40>10n и 40<10n.

Определение:

Неравенством называется выражение,
полученное посредством соединения знаком > или знаком < двух алгебраических выражений.

Примеры неравенств:

Выражение, записанное слева от знака неравенства, называется левой частью неравенства, а выражение, записанное справа от этого знака, называются правой частью неравенства.

При желании части неравенства можно переменить местами, но тогда надо изменить знак неравенства на. знак противоположного смысла, т. е. вместо знака ]> писать знак <, а вместо знака < писать знак >. Перепишем неравенства (1), переменив местами правую и левую части. Получим

Неравенства (1) и (2) не содержат букв, это так называемые числовые неравенства. Неравенства

содержат буквы.

Неравенства, не содержащие букв, могут быть верными
(справедливыми) или неверными (несправедливыми). Так, например, все неравенства (1) и (2) верные. Нетрудно указать и несправедливое неравенство. Для этого достаточно в верном неравенстве заменить знак
неравенства знаком противоположного смысла.

С неравенствами, содержащими буквы, дело обстоит сложнее. Рассмотрим для примера знакомое нам неравенство

Мы знаем, чтo это неравенство справедливо при n < 4. При n = 4 знак > надо заменить знаком = , а при n > 4 знак > надо заменить знаком < . Таким образом, неравенство, содержащее буквы, может при некоторых значениях этих букв оказаться справедливым, а при других значениях букв оказаться несправедливым.

Впрочем, бывают и такие неравенства, которые справедливы при всех значениях входящих в них букв. Таково, например, неравенство

Действительно, при любом а левая часть неравенства (5) на 1 больше правой.

С другой стороны, нетрудно указать и такое неравенство, которое при любых значениях входящих в него букв несправедливо. Для этого достаточно в неравенстве, которое справедливо при всех значениях входящих в него букв, заменить знак неравенства знаком противоположного смысла. Так, например, заменим в неравенстве (5) знак > знаком <, получим неравенство

которое при всех значениях буквы а несправедливо.

Определение:

Решить неравенство — это значит узнать, при каких значениях входящих в него букв это неравенство справедливо.

Пример:

Решить неравенство 40 > 10n.

Пример:

Решить неравенство 40<10n.

Пример:

Решить неравенство

Ответ. Неравенство справедливо при любом значении а.

Пример:

Решить неравенство

Ответ. Неравенство решений не имеет (при
любом значении буквы а оно несправедливо).

Свойства неравенств

Для того чтобы научиться решать неравенства, надо изучить их свойства.

Свойство:

Возьмем какое-нибудь справедливое неравенство, например

Прибавим к каждой части этого неравенства одно и то же число, например 10. Получим новое неравенство 5 + 10 > 3 + 10 или

Неравенство (2) тоже справедливо. В самом деле, мы к большему числу 5 и к меньшему числу 3 прибавили поровну (по 10), понятно, поэтому, что первая сумма больше второй.

Возьмем неравенство (1). Вычтем теперь из каждой части этого неравенства одно и то же число, например 10. Получим новое неравенство

Неравенство (3) тоже справедливо.

Возьмем еще раз неравенство (1). Прибавим к каждой его часта одно и то же буквенное выражение, например а + 2b. Получим новое неравенство

Неравенство (4) справедливо при любых значениях а и b. В самом деле, при каких угодно значениях а и b к правой и левой части неравенства (1) добавляется одно и то же число.

Пусть, например, а=3; b=4, тогда

и выходит, что при этих значениях а и b к каждой части неравенства (1) прибавлено по 11. Если а и b имеют какие-нибудь другие значения, все равно а + 2b, добавленное к левой части неравенства (1), имеет
то же значение, что и а + 2b, добавленное к правой части этого неравенства.

Теперь мы можем сформулировать свойство 1 неравенств:

Если а > b и с — произвольное число, то а + с > b + с;
а— с > b— с, т. е. к обеим частям неравенства можно прибавить или от обеих частей его вычесть одно и то же число или буквенное выражение.

Как легко видеть, свойство 1 неравенств очень напоминает соответствующее свойство равенств.

Следствие из свойства 1. Любой член неравенства можно перенести из одной части в другую, переменив при этом знак его на противоположный.

Действительно, рассмотрим неравенство

Нетрудно проверить, что это неравенство справедливо. Допустим, что мы хотим число —2 перенести из правой части в левую. Прибавим к каждой части неравенства по 2, получим опять справедливое неравенство

Сравнивая неравенство (6) с неравенством (5), видим, что неравенство (6) получается из неравенства (5) посредством переноса числа (—2) из правой части в левую, но с противоположным знаком.

Свойство:

Возьмем какое-нибудь справедливое неравенство, например

Умножим обе части этого неравенства на одно и то же положительное число, например на 5. Получим новое неравенство

Неравенство (2) тоже справедливо.

Возьмем опять то же неравенство

Разделим обе части этого неравенства на одно и то же
положительное число, например на 10. Получим новое неравенство

Неравенство (3) тоже справедливо.

Возьмем еще раз неравенство 3 >—2. Умножим обе части этого неравенства на какое-нибудь отрицательное число, например на —5. В левой части получится —15, а в правой 10. Ясно, что

Как видно, чтобы получить справедливое неравенство (4), нам пришлось знак > заменить знаком <

То же самое получается и при делении каждой части неравенства на одно и то же отрицательное число. Возьмем опять неравенство

Разделим обе части его на какое-нибудь отрицательное число, например на —10. В левой части получится —0,3, а в правой 0,2. Чтобы новое неравенство было справедливым, необходимо знак > заменить
знаком <. Получим

Теперь мы можем сформулировать свойство 2 неравенств:

Если а > b и с положительно, то т. е. обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число.

Если а>b и с отрицательно, то т.е. при умножении или делении обеих частей неравенства на одно и то же отрицательное число знак неравенства надо заменить знаком противоположного смысла (т.е. вместо знака > надо писать знак <, и вместо знака < надо писать знак >).

Если обе части неравенства умножить на нуль, неравенство превращается в равенство.

Пример:

Умножим обе части неравенства 3 > — 2 на нуль. В левой части получится 0, в правой части получится тоже 0, т. е.

Вместо знака > приходится писать знак=.

При умножении или делении обеих частей неравенства на буквенное выражение нужно быть весьма осторожным, так как при различных значениях букв это выражение может оказаться и положительным,
и отрицательным, и нулем. Так, например, неравенство 3 > — 2 при умножении на х дает

Решение неравенств первой степени с одним неизвестным

Определение:

Неравенством первой степени с одним
неизвестным называется такое неравенство, которое не содержит неизвестного в знаменателе и после освобождения его от дробей, раскрытия скобок, перенесения всех членов в левую часть и приведения
подобных членов имеет вид ах + b > 0 или ах + b < 0, где а и b— известные числа.

Применяя первое и второе свойства неравенств, можно решить любое неравенство первой степени с одним неизвестным. Покажем это на примерах.

Пример:

Решить неравенство

Решение:

Перенесем 2х в левую, а —1 в правую часть
неравенства. Получим

Этот ответ означает, что данное неравенство справедливо при любом значении х, большем чем —4. Ответ. x > —4.

Пример:

Решить неравенство 5х + 2 < 2х — 11.

Решение:

Перенесем 2х в левую, а 2 в правую часть
неравенства. Получим

Разделим обе части неравенства на 3, получим

Ответ.

Пример:

Решить неравенство 2х + 5 > 7х — 10.

Решение:

Перенесем 2х в правую, а —10 в левую часть
неравенства. Получим

Разделим обе части неравенства на 5. Получим

Это неравенство можно решить и иначе. Например, перенесем 7х в левую, а 5 в правую часть. Получим

Разделим обе части неравенства на —5. Получим опять

Ответ. х < 3.

Пример:

Решить неравенство

Решение:

Умножим обе части неравенства на 6. Получим

или

отсюда

Перенесем —8х в правую часть. Получим

Значит

Ответ.

Пример:

Решить неравенство ах < b.

Решение:

Если а положительно (т. е. а > 0), то Если а отрицательно (т. е. a < 0), то Если а = 0, то неравенство принимает вид 0 • х < b.

Это неравенство справедливо при любом x, если b положительно и не имеет решений (т. е. не может быть справедливым ни при каком значении x), если b отрицательно или равно нулю.

Задача:

Показать, что из условий: l)2) b и d одного знака, вытекает, что ad > bc.

Решение:

Так как b и d одного знака, bd положительно.
Поэтому, умножив обе части справедливого по условию неравенства на bd, получим опять справедливое неравенство.

Решение заданий и задач по предметам:

• Математика
• Высшая математика
• Математический анализ
• Линейная алгебра

Дополнительные лекции по высшей математике:

1. Тождественные преобразования алгебраических выражений
2. Функции и графики
3. Преобразования графиков функций
4. Квадратная функция и её графики
5. Алгебраические неравенства
6. Неравенства
7. Неравенства с переменными
8. Прогрессии в математике
9. Арифметическая прогрессия
10. Геометрическая прогрессия
11. Показатели в математике
12. Логарифмы в математике
13. Исследование уравнений
14. Уравнения высших степеней
15. Уравнения высших степеней с одним неизвестным
16. Комплексные числа
17. Непрерывная дробь (цепная дробь)
18. Алгебраические уравнения
19. Неопределенные уравнения
20. Соединения
21. Бином Ньютона
22. Число е
23. Непрерывные дроби
24. Функция
25. Исследование функций
26. Предел
27. Интеграл
28. Двойной интеграл
29. Тройной интеграл
30. Интегрирование
31. Неопределённый интеграл
32. Определенный интеграл
33. Криволинейные интегралы
34. Поверхностные интегралы
35. Несобственные интегралы
36. Кратные интегралы
37. Интегралы, зависящие от параметра
38. Квадратный трехчлен
39. Производная
40. Применение производной к исследованию функций
41. Приложения производной
42. Дифференциал функции
43. Дифференцирование в математике
44. Формулы и правила дифференцирования
45. Дифференциальное исчисление
46. Дифференциальные уравнения
47. Дифференциальные уравнения первого порядка
48. Дифференциальные уравнения высших порядков
49. Дифференциальные уравнения в частных производных
50. Тригонометрические функции
51. Тригонометрические уравнения и неравенства
52. Показательная функция
53. Показательные уравнения
54. Обобщенная степень
55. Взаимно обратные функции
56. Логарифмическая функция
57. Положительные и отрицательные числа
58. Алгебраические выражения
59. Иррациональные алгебраические выражения
60. Преобразование алгебраических выражений
61. Преобразование дробных алгебраических выражений
62. Разложение многочленов на множители
63. Многочлены от одного переменного
64. Алгебраические дроби
65. Пропорции
66. Уравнения
67. Системы уравнений
68. Системы уравнений высших степеней
69. Системы алгебраических уравнений
70. Системы линейных уравнений
71. Системы дифференциальных уравнений
72. Арифметический квадратный корень
73. Квадратные и кубические корни
74. Извлечение квадратного корня
75. Рациональные числа
76. Иррациональные числа
77. Арифметический корень
78. Квадратные уравнения
79. Иррациональные уравнения
80. Последовательность
81. Ряды сходящиеся и расходящиеся
82. Тригонометрические функции произвольного угла
83. Тригонометрические формулы
84. Обратные тригонометрические функции
85. Теорема Безу
86. Математическая индукция
87. Показатель степени
88. Показательные функции и логарифмы
89. Множество
90. Множество действительных чисел
91. Числовые множества
92. Преобразование рациональных выражений
93. Преобразование иррациональных выражений
94. Геометрия
95. Действительные числа
96. Степени и корни
97. Степень с рациональным показателем
98. Тригонометрические функции угла
99. Тригонометрические функции числового аргумента
100. Тригонометрические выражения и их преобразования
101. Преобразование тригонометрических выражений
102. Комбинаторика
103. Вычислительная математика
104. Прямая линия на плоскости и ее уравнения
105. Прямая и плоскость
106. Линии и уравнения
107. Прямая линия
108. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
109. Кривые второго порядка
110. Кривые и поверхности второго порядка
111. Числовые ряды
112. Степенные ряды
113. Ряды Фурье
114. Преобразование Фурье
115. Функциональные ряды
116. Функции многих переменных
117. Метод координат
118. Гармонический анализ
119. Вещественные числа
120. Предел последовательности
121. Аналитическая геометрия
122. Аналитическая геометрия на плоскости
123. Аналитическая геометрия в пространстве
124. Функции одной переменной
125. Высшая алгебра
126. Векторная алгебра
127. Векторный анализ
128. Векторы
129. Скалярное произведение векторов
130. Векторное произведение векторов
131. Смешанное произведение векторов
132. Операции над векторами
133. Непрерывность функций
134. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
135. Предел и непрерывность функции одной переменной
136. Производные и дифференциалы функции одной переменной
137. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
138. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
139. Матрицы
140. Линейные и евклидовы пространства
141. Линейные отображения
142. Дифференциальные теоремы о среднем
143. Теория устойчивости дифференциальных уравнений
144. Функции комплексного переменного
145. Преобразование Лапласа
146. Теории поля
147. Операционное исчисление
148. Системы координат
149. Рациональная функция
150. Интегральное исчисление
151. Интегральное исчисление функций одной переменной
152. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
153. Отношение в математике
154. Математическая логика
155. Графы в математике
156. Линейные пространства
157. Первообразная и неопределенный интеграл
158. Линейная функция
159. Выпуклые множества точек
160. Система координат