Задачи на доказательство различных алгебраических неравенств

Задачи на доказательство различных алгебраических неравенств

Существуют конкурсные задачи, в которых требуется доказать справедливость того или иного алгебраического неравенства, в записи которого присутствуют несколько буквенных обозначений, при всех значениях входящих в него букв (доказательство тождеств) или, например, только для положительных значений. Иногда требуется доказать неравенство при выполнении некоторого дополнительного условия. Рассмотрим примеры.

Пример 1. Доказать, что при всех действительных а,vb, c имеет место неравенство

Задачи на доказательство различных алгебраических неравенств

и выяснить, когда оно обращается в равенство.

Доказательство. Выполним следующие равносильные преобразования:

Задачи на доказательство различных алгебраических неравенств

Последнее неравенство, очевидно, выполняется при всех действительных значениях а,b,c. при этом обращается в равенство тогда и только тогда, когда все три квадрата равны нулю, т.е. а = b = c .

Пример 2 . Три положительных числа a,b,c таковы, что Задачи на доказательство различных алгебраических неравенствДоказать, что в этом случае имеет место неравенств Задачи на доказательство различных алгебраических неравенств

Доказательство. Воспользуемся доказанным выше неравенством:

Задачи на доказательство различных алгебраических неравенств

откуда и получим, что Задачи на доказательство различных алгебраических неравенств

Пример 3 . Пусть Задачи на доказательство различных алгебраических неравенств. Доказать справедливость неравенства Задачи на доказательство различных алгебраических неравенств

Доказательство. Так как Задачи на доказательство различных алгебраических неравенствт.е.

Задачи на доказательство различных алгебраических неравенств

Сложив это неравенство с известным неравенством

Задачи на доказательство различных алгебраических неравенств

получим Задачи на доказательство различных алгебраических неравенствАналогично, так как Задачи на доказательство различных алгебраических неравенств то Задачи на доказательство различных алгебраических неравенств, т.е.

Задачи на доказательство различных алгебраических неравенств

Сложив неравенство (3) с неравенством

Задачи на доказательство различных алгебраических неравенств

получим искомое неравенство.

Приведём теперь пример задачи, в которой для повышения эффективности решения целесообразно использовать замену переменных.

Пример 4 . Доказать, что если а > 0, b > 0 , c>0, то

Задачи на доказательство различных алгебраических неравенств

Доказательство. Пусть Задачи на доказательство различных алгебраических неравенств Тогда, выражая а,b,с через x,y,z, получим систему

Задачи на доказательство различных алгебраических неравенств

и доказываемое неравенство принимает вид

Задачи на доказательство различных алгебраических неравенств

Поделив почленно и сгруппировав слагаемые, получим

Задачи на доказательство различных алгебраических неравенств

что, очевидно, верно (в силу неравенства о сумме взаимно обратных положительных чисел). Неравенство доказано.

Пример 5 . Пусть а + b = 2 . Доказать, что

Задачи на доказательство различных алгебраических неравенств

Доказательство. Так как а + b = 2 , то найдётся такое число Задачи на доказательство различных алгебраических неравенств, что Задачи на доказательство различных алгебраических неравенств Тогда Задачи на доказательство различных алгебраических неравенств что и требовалось доказать.

Пример 6. Пусть а > c > 0, b > С. Доказать, что Задачи на доказательство различных алгебраических неравенств

Доказательство. Положим Задачи на доказательство различных алгебраических неравенств где Задачи на доказательство различных алгебраических неравенств Надо доказать, что

Задачи на доказательство различных алгебраических неравенств

Имеем: Задачи на доказательство различных алгебраических неравенств

Задачи на доказательство различных алгебраических неравенств

Последнее неравенство обращается в равенство тогда и только тогда, когда

Задачи на доказательство различных алгебраических неравенств

Исключая из этой системы Задачи на доказательство различных алгебраических неравенств , находим условие обращения неравенства в равенство: Задачи на доказательство различных алгебраических неравенствВ следующем примере показывается, что иногда неравенство можно доказать с помощью геометрического подхода.

Пример 7. Доказать, что для любых положительных чисел а,b,c справедливо неравенство

Задачи на доказательство различных алгебраических неравенств

Доказательство. Известно, что для треугольника со сторонами а,b,c и углом величины Задачи на доказательство различных алгебраических неравенств между сторонами а,b справедлива теорема косинусов:

Задачи на доказательство различных алгебраических неравенств

Запишем выражение под первым из радикалов в виде:

Задачи на доказательство различных алгебраических неравенств

Тогда геометрический смысл этого радикала состоит в том, что он численно равен длине третьей стороны АВ в треугольнике ОАВ со сторонами Задачи на доказательство различных алгебраических неравенств

Задачи на доказательство различных алгебраических неравенств

Аналогично можно дать геометрическую интерпретацию двум другим радикалам в исходном неравенстве:

Задачи на доказательство различных алгебраических неравенств

В результате неравенство принимает вид:

Задачи на доказательство различных алгебраических неравенств

что, очевидно, верно, так как это известное из геометрии неравен-ство треугольника (справедливо при произвольном расположении точек А, В, С на плоскости).

Задачи, при решении которых для более быстрого (по сравнению со стандартными способами) получения тех или иных оценок используются алгебраические неравенства, часто относят к нестандартным. Задачи такого рода периодически встречаются на олимпиадах и при выполнении тестов по математике. Формирование навыков использования при оценивании исследуе-мых величин подходящих неравенств, безусловно, повышает общую культуру школьника.

Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:

Предмет математика

Эти страницы возможно вам будут полезны:

Неравенство Коши-Буняковского в математике с примерами решения
Неравенство между средним арифметическим и средним квадратичным
Уравнения, тождества, неравенства: определения и классификация
Равносильность и следствие. Определение равносильности и следствия в математике