Степени и корни в математике с примерами решения и образцами выполнения

Оглавление:

Возведение в степень — это арифметическая операция, первоначально определяемая как результат многократного умножения числа на себя.

Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа a называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен a.

Что такое степень и корень, как сложить, перемножить, поделить степени, как возвести степень в степень и извлечь корень из степени. Как сложить, перемножить, поделить корни, как возвести в степень и извлечь корень из корня. И как вычислить корень из целого числа, когда он извлекается.

Степени с натуральными показателями

Пусть а — произвольное действительное число, а n — число. Произведение

n сомножителей, равных а, называется n-й степенью числа а и обозначается через Степени и корни . При этом а называется основанием, а n — показателем степени. При n = 1 просто полагают . Таким образом, степень определяется при любых натуральных значениях n. Поскольку действие возведения в натуральную степень определено через действие умножения, то оно рассматривается как рациональное (арифметическое) действие. Отметим некоторые свойства этого действия.

1) При любых натуральных n, m

Это следует из записи

Таким образом, при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степени складываются.

2) Если Степени и корни и , то

Действительно, это следует из равенства

3) При любых натуральных m, n

Действительно, по определению n-й степени числа имеем

и по свойству 1)

что и требовалось получить.

Итак, при возведении степени в степень показатели степени перемножаются.

Доказательство свойств 4) и 5) предоставляется читателю.

Степени с целыми показателями

Свойство 2) п. 9:

установлено при n > m. При n = m или n < m его правая часть не определена, но левая часть сохраняет смысл. Это дает повод ввести определение степени с нулевым и целыми отрицательными показателями степени.

Нулевую степень числа Степени и корни полагают по определению равной единице:

Таким образом, равенство (9.2) становится теперь верным и при n = m .

Степень числа Степени и корни с отрицательным показателем —k определяется равенством

Нулевая и отрицательная степени числа 0 не определяются.

Определение (10.2) делает равенство (9.2) верным и при n < m. Так, если m = n + k, то имеем

Нетрудно проверить, что все правила действия возведения в натуральную степень, указанные в п. 9, сохраняют силу при введенных определениях и при любых целых показателях степени.

Так, например, проверяем, что

т. е. и для отрицательных показателен степени сохраняет силу правило 1) умножения степеней с одинаковыми основаниями.

Пример:

Вычислить: Степени и корни

Решение:

Используем то, что Степени и корни , и применяем правила действий с целыми степенями:

Корни

Если n > 1—натуральное число, а а и b — действительные числа, причем

Ь» = а,

то число b называется корнем n-й степени из числа а. Таким образом, корнем n-й степени из числа а называется каждое число b такое, что его n-я степень равна а.

Действие отыскания корня из числа а называется действием извлечения корня n-й степени из а. Действие извлечения корня степени n является действием, обратным по отношению к действию возведения числа в степень n .

Если n — нечетное число, то, как можно доказать, для любого действительного числа а существует единственное значение корня степени n (в действительной области; извлечение корней в области комплексных чисел рассматривается в п. 18).

Если n — четное, то действие извлечения корня степени n из отрицательного числа невозможно, так как четная степень любого числа неотрицательна. Можно показать, что для любого положительного числа а корень четной степени n имеет два значения, равных по абсолютной величине и противоположных по знаку. Например, числа +3, —3 суть корни квадратные из числа 9. Положительный корень четной степени нз положительного числа называется арифметическим корнем (или арифметическим значением корня). Его единственность видна из такого соображения. Если бы имеюсь два положительных корня Степени и корни и , то одно из чисел , было бы больше другого, например, . Но тогда и , т. е. оба числа не могли бы быть корнями степени n из одного и того же числа а. Это рассуждение применимо и к случаю корней нечетной степени.

Наметим обоснование утверждения о существовании корня Степени и корни произвольной степени из любого положительного действительного числа. Прежде всего, может случиться, что корень существует в области натуральных чисел. Если это так, то этим задача решается; если в области натуральных чисел корня не имеется, то найдутся два последовательных целых числа k и k +l такие, что Степени и корни . Теперь будем рассматривать десятичные дроби вида , где = 0, 1, …, 9. Либо среди них имеется искомый корень, либо снова получим для некоторого

Далее будем искать приближение корня в виде дроби с двумя знаками после запятой и т. д. Таким путем в принципе можно построить ряд десятичных приближений по недостатку и по избытку для некоторого действительного числа, которое и следует принять за значение искомого корня (аналогично примеру Степени и корни в п. 6).

Корень степени n обозначается с помощью знака радикала Степени и корни ; при этом для придания символу вполне определенного смысла условимся понимать под :

1) единственное значение корня в случае нечетного n (а в этом случае — любое действительное число).

2) арифметический корень степени n из а в случае четного а (в этом случае а > 0).

Корень из нуля при любом показателе n равен нулю.

В случае, если мы хотим рассматривать оба значения корня четной степенн из положительного числа, то пишем Степени и корни ; если перед корнем четной степени знак не написан, то всегда имеют в виду арифметическое значение корня.

В случае корня степени 2 (квадратного корня) пишут просто Степени и корни ; например, . Корень третьей степени называют кубическим корнем.

Если а — произвольное действительное число, то

при нечетном n и

при четном n (в частности, в случае квадратного корня). Так, например, Степени и корни , но .

Укажем основные правила действий над корнями; для простоты предположим, что числа под знаком корня—положительные.

1) Извлечение корня из произведения. Корень из произведения равен произведению корней из сомножителей:

Доказательство:

Для доказательства этого (и дальнейших) свойства достаточно проверить, что при возведении обеих частей равенства (11.1) в степень m получим одно и то же число. При этом мы пользуемся соотношением Степени и корни , непосредственно вытекающим из определения корня n-й степени. Имеем

откуда и вытекает требуемое свойство.

2) Возведение корня в степень. Для возведения корня в степень достаточно возвести в, эту степень подкоренное выражение, сохраняя показатель корня.

Это правило записывается так:

Свойство 2) непосредственно вытекает из свойства 1), а также может быть проверено возведением обеих частей равенства (11.2) в степень m.

3) Извлечение корня из частного. Корень из частного равен частному от деления корня из числителя на корень из знаменателя:

4) Извлечение корня из степени. Пусть показатель степени m является кратным показателя корня n: m = nk. Тогда

т. е. при извлечении корня из степени показатель степени следует разделить на показатель корня.

Пусть в общем случае m не является кратным n; выполним деление m на n с остатком: m = nq + r. Тогда

Действительно, применяя уже найденные правила, получим

Пример:

5) Извлечение корня из корня. Для извлечения корня из корня достаточно перемножить показатели корней, сохранив подкоренное выражение:

6) Сокращение показателя корня и показателя подкоренного выражения на их общий множитель. Пусть в выражении Степени и корни н. о. д. показателей m и n равен k (п. 3). Это значит, что m = kr и n = ks, причем r и s — целые взаимно простые числа. Тогда . Это означает, что если показатели корня и подкоренного выражения имеют общий делитель, то на него их можно сократить, не меняя величины корня. Например:

Обратно, если показатели корня и подкоренного выражения умножить на одно и то же число, то корень от этого не изменится. Например:

7) Приведение корней к общему показателю. Пользуясь только что установленным свойством, можно два или несколько корней приводить к общему показателю, который представляет собой н. о. к. показателей всех данных корней.

Это преобразование полезно применять при умножении корней с разными показателями.

Пример:

Упростить произведение Степени и корни

Решение:

Здесь н. о. к. показателей корней равнялось 6; в процессе преобразования мы применили также правило 6) сокращения показателей степени и корня и правило 1).

Аналогичным образом выполняется и деление корней.

Пример:

Степени с рациональными показателями

Степени с действительными показателями. Будем, как и в п. 11, рассматривать только корни из положительных чисел. Мы видели, что в случае, когда m делится нацело на n,

Обобщая это правило, можно ввести следующее определение степени с положительным рациональным показателем p/q:

В случае отрицательного рационального показателя степени —p/q полагают (по аналогии со случаем целого отрицательного показателя степени)

На степени с рациональными показателями распространяются все правила действий над степенями с натуральными и вообще целыми показателями. Для их обоснования достаточно применить правила п. 11 действий над корнями. Докажем, например, свойство

Имеем

Так же получим Степени и корни Отсюда

что и требовалось доказать.

Рассматривают также степени положительного числа а при произвольных действительных показателях. В основу определения Степени и корни при иррациональном х кладется последовательное приближение х рациональными числами. Так, например, для следует рассмотреть приближения по недостатку и по избытку для Степени и корни и возводить 3 в соответствующие рациональные степени, записывая

По мере продолжения этого процесса левая и правая части неравенств, выраженные бесконечными десятичными дробями, будут иметь все большее и большее число совпадающих десятичных знаков, которые и будут приниматься за десятичные знаки, определяющие иррациональное число Степени и корни . Более подробно рассматривать этот вопрос мы не можем, но отметим, что имеет действительное вполне определенное значение при а > 0 и любом действительном х.

Замечание:

Извлечение корня нечетной степени возможно и из отрицательного числа. Поэтому выражению Степени и корни при а < 0 также можно приписать смысл с помощью равенства в случае, когда несократимая рациональная дробь p/q имеет нечетный знаменатель. В случае четного q и для иррациональных значений показателя степень отрицательного основания не определяется. Нуль в любой положительной степени равен нулю; нулевая и отрицательные степени нуля не определены.

Пример:

Произвести действия, пользуясь отрицательными и дробными показателями степени: Степени и корни .

Решение:

Алгоритм извлечения квадратного корня

Пусть дано произвольное положительное число А; тогда можно указать последовательность арифметических действий, приводящую к вычислению квадратного корня из данного числа с любой заданной степенью точности. Эта последовательность действий, описанная ниже, получает название алгоритма извлечения квадратного корня.

Предположим вначале для простоты, что данное число — целое m-значное; записываем его в виде Степени и корни (см. п. 1). Ответим на вопрос, сколько цифр будет содержать целая часть арифметического квадратного корня из А. Ответ получается из следующего сравнения неравенств для числа и корня из этого числа:

Таким образом, если А — одно- или двузначное число, то целая часть Степени и корни — однозначная; если А — трех- или четырехзначное число, то целая часть — двузначная и т. д. Вообще, если А — m-значное число, то целая часть будет (m/2)-значной при четном m и ((m + 1)/2) — значной при нечетном m. Практически это число знаков определяется механически таким образом: число А разбивают на «грани» по две цифры, начиная справа; при этом последняя левая грань может состоять из одной или двух цифр, например:

Число граней и дает нам число цифр целой части Степени и корни .

Следующий шаг состоит в определении первой цифры числа Степени и корни ; эта цифра легко находится в уме, так как для ее отыскания достаточно помнить квадраты целых чисел от 1 до 9. В самом деле, первая цифра зависит только от первой (считая слева) грани числа А. Например, содержит Степени и корни заведомо 5 сотен независимо от цифр ; содержит одну тысячу независимо от цифр и т. п. Можно записать

Покажем, из каких соображений можно находить следующую цифру Степени и корни числа . Цифра определяется как наибольшая цифра, при которой еще выполняется неравенство (k — число граней А)

или

откуда, тем более,

или

Можно было бы находить Степени и корни из неравенства (13.1), но решение квадратного неравенства является трудоемким; поэтому переходят к простому линейному неравенству (13.2), из которого и получается условие (13.3) для подбора Степени и корни . Берем наибольшее целое , удовлетворяющее условию (13.3).

Такое Степени и корни может еще оказаться слишком большим: надо проверить, выполняется ли и неравенство (13.1); если оказалось слишком большим, то уменьшаем его на единицу и снова проверяем, удовлетворяется ли неравенство (13.1). Таким образом подбирается Степени и корни .

При этом Степени и корни определяется с использованием лишь первых двух левых граней A, остальные грани А на выбор не влияют.

Пример:

Степени и корни ; для отыскания имеем неравенство (13.3), которое запишется так:

Наибольшее значение Степени и корни . Проверяем, удовлетворяется ли неравенство (13.1):

Так как неравенство выполнено, то вторая цифра корня равна 3:

Пример:

Степени и корни , для имеем

Наибольшее возможное значение Степени и корни

но неравенство

неверно. Испытываем Степени и корни :

Неравенство выполнено. Итак,

Замечание:

Здесь практически можно было определить первые две цифры корня сразу, в уме, так как очевидно, что Степени и корни

После того как найдены первые две цифры корня Степени и корни и , из тех же соображений находят следующие, в том числе и идущие после запятой цифры . Например, для исходят из неравенства

получая из него оценку для Степени и корни :

При практическом извлечении корня все вычисления располагают в некоторой определенной схеме, которую мы напомним на тех же примерах Степени и корни и .

Перед разбором примеров приведем для удобства формулировку правила извлечения корня.

Правило. Чтобы извлечь квадратный корень из данного целого числа, разбивают его справа налево на грани, по две цифры в каждой, кроме первой (крайней левой), в которой может быть и одна цифра.

Чтобы найти первую цифру корня, извлекают квадратный корень из первой грани.

Чтобы найти вторую цифру, из первой грани вычитают квадрат первой цифры корня, к остатку сносят вторую грань и число десятков получающегося числа делят на удвоенную первую цифру корня; полученное целое число подвергают испытанию.

Испытание это производится так: за вертикальной чертой корня (налево от остатка) пишут удвоенное ранее найденное число корня и к нему с правой стороны приписывают испытуемую цифру; получившееся после этой приписки число умножают на испытуемую цифру. Если после умножения получится число, большее остатка, то испытуемая цифра не годится и надо испытывать следующую, меньшую цифру.

Следующие цифры корня находят с помощью того же приема.

Если после снесения грани число десятков получившегося числа окажется меньше делителя, т. е. меньше удвоенной найденной части корня, то в корне ставят 0, сносят следующую грань и продолжают действие дальше.

Пример:

Вычислить: а) Степени и корни с точностью до 0,01; б) с точностью до 0,1.

Решение:

Примечания:

*) Цифра 7 не выдерживает испытания; переходим к следующей цифре 6. **) Мысленно дополняем подкоренное число нулями за запятой и сносим следующую нулевую грань.

Если подкоренное число выражается десятичной дробью, то деление на грани производится от запятой: для целой части влево, для дробной — вправо:

в остальном процесс извлечения корня остается тем же.

Степени с целым показателем

Мы определили выше степень с натуральным показателем. Ясно, что это определение не годится ни для целых отрицательных, ни для дробных показателей — нельзя взять число сомножителем ни —5, ни раза. В то же время для многих задач физики нужно определить не только степень с рациональным показателем, но даже и степень с иррациональным показателем.

В физике часто встречаются величины, обладающие следующим свойством: за равные промежутки времени величина изменяется в одно и то же число раз. Например, если за первый час своего изменения величина уменьшилась втрое, то и за десятый час она тоже уменьшится втрое. Примером такой величины является масса радиоактивного вещества. Пусть в начале наблюдения был 1 кг этого вещества, а после первых суток осталось а кг, то есть количество вещества изменилось в а раз. Тогда, как показывают опыты, в течение вторых суток количество вещества тоже изменится в а раз. Поэтому после вторых суток останется Степень кг вещества. Точно так же в течение третьих суток количество вещества изменится в а раз, и потому останется кг вещества.

Таким же образом изменяются все остальные величины, обладающие указанным выше свойством. Именно если в начале наблюдения значение этой величины равняется М, а через 1 единицу времени это значение изменилось в а раз и стало равно Ма, то через n единиц времени значение величины равно

Поскольку величина промежутка времени стоит в показателе формулы (1), закон изменения (1) называют показательным.

Формула (1) не дает ответа на вопросы, чему равно значение величины через Степень единицы времени, или за 3 единицы времени до начала наблюдения и т. д.

Естественно обозначить значение величины через t единиц времени после начала наблюдения так: Степень При этом t может быть как целым, так и дробным, как положительным, так и oтрицательным (в последнем случае речь идет о моментах времени, предшествовавших началу наблюдения). Но чтобы формула Степень получила смысл, надо обобщить понятие о степени, ввести степени не только с натуральными, но и с произвольными показателями. Мы решим задачу о распространении понятия степени на случай целых показателей — положительных, отрицательных и равных нулю.

При обобщении понятия степени мы будем руководствоваться следующим требованием.

Для степеней с любыми показателями должны оставаться в силе основные свойства степеней с натуральными показателями:

Иными словами, эти свойства должны оставаться справедливыми не только для натуральных, но и для любых показателей. Обычно мы будем пользоваться одним из этих свойств для введения соответствующего определения, после чего будем проверять выполнение остальных свойств.

Отметим, что два подхода — с точки зрения физики и с точки зрения математики — согласуются друг с другом.

Выясним физический смысл свойств 3) и 5). Пусть сначала прошло m единиц времени, а потом n единиц времени. За первые m единиц времени величина изменится в Степень раз, а за следующие n единиц времени она изменится в раз. Поэтому за m+n единиц времени она изменится в раз. Но, с другой стороны, за m+n единиц времени она изменяется в Степень . Значит, должно выполняться равенство При этом т и п могут быть произвольными, а не только натуральными числами.

Аналогично истолковывается смысл свойства 5). Примем m единиц времени за новую единицу измерения (например, перейдем от секунд к минутам или часам). Тогда за одну новую единицу измерения времени наша величина изменяется в Степень раз, а за n новых единиц времени — в , то есть в раз. Но n новых единиц времени равно mn первоначальных единиц, а по условию за mn единиц времени величина меняется в Степень раз. Значит, И здесь m и n могут быть любыми, а не только натуральными числами.

Степень с нулевым показателем

Рассмотрим равенство

Пока что оно имеет смысл лишь при натуральных значениях n. Выясним, как надо определить Степень , чтобы равенство (1) выполнялось и при n = 0. Положим в (1) n = 0. Тогда равенство примет вид

Отсюда ясно, что при Степень надо положить . Значение 0° не определяется.

Проверим, согласуется ли это определение с физическим подходом. Мы рассматриваем величины, которые в момент времени t принимают значение Степень где М — значение величины при t = 0. Поэтому должно вы полнятся равенство , из которого и следует, что

Степень с целым отрицательным показателем

Определим степень с целым отрицательным показателем — n (то есть где n — натуральное) так, чтобы равенство выполнялось не только для натуральных и нулевых значений m и n, но для всех целых значений. Положим в этом равенстве m = —n. Мы получим тогда, что

Отсюда следует, что при надо положить

При а =0 выражение Степень не определяется.

Снова проверим, насколько согласуется введенное определение с физическим смыслом, который был придан значению Степень Теперь нам надо найти значение величины при t = —n, то есть за n единиц времени до начала измерения. Обозначим это значение через m. Так как в течение каждой единицы времени значение величины изменяется в а раз, то за n единиц времени значение величины изменится в Степень раз и станет равным Но по условию при t = 0 значение величины равно М . Поэтому , значит, . С другой стороны, при t = —n значение величины должно равняться Поэтому Степень Мы снова пришли к тому же результату:

Мы распространили понятие степени на случай любого целого показателя — положительного, отрицательного и нулевого. Покажем, что при этом выполняются свойства 1) — 5) степеней, сформулированные в п. 1 (при этом, конечно, основания степеней должны отличаться от нуля).

Докажем, что выполняется равенство Степень Если n = 0, то оно принимает вид и, очевидно, имеет место, так как Пусть теперь n = — k — целое отрицательное число. Тогда k > 0 и потому

Но Степень и потому имеем

Тем самым доказано выполнение равенства 1) и при целых отрицательных значениях n.

Точно так же доказывается выполнение равенства Степень

Доказательство выполнения свойства 3) Степень несколько сложнее, так как приходится разбирать несколько случаев, в зависимости от знаков чисел m , n и m+n. Мы разберем один из этих случаев, когда m>0, n<0, m+n>0. Обозначим n через — k. Тогда m — k >0 и потому

Предоставляем читателю разобрать остальные случаи (включая и те, когда одно из чисел m, n, m+n обращается в нуль). Доказательство равенства 4)

проводится тем же способом.

Наконец, докажем соотношение 5): Степень Положим n = —k. Тогда mn = — mk и потому

Случаи, когда m и n имеют иные знаки или обращаются в нуль, разбираются точно так же. Например, Степень поскольку обе части равенства равны 1

Итак, для степеней с любым целым показателем выполняются свойства 1) — 5) из п. 1. Отметим еще некоторые свойства этих степеней.

Если а — положительное число, то для всех целых значений n число положительно.

Имеют место равенства:

(здесь k обозначает любое целое число). Отсюда следует, что если а — отрицательное число, то положительно, а отрицательно.

Примеры:

Вычислить выражение

Сначала выполним указанные действия, а потом освободимся от отрицательных показателей. Итак, наше выражение равно:

Корни. Степени с рациональными показателями

Пусть а — положительное число и n — натуральное число. Можно доказать, что существует одно и только одно положительное число b такое, что Степень Это число называют арифметическим корнем n-й степени из а и обозначают Итак, если а и b — положительные числа, то записи

обозначают одно и то же.

Число а называют подкоренным выражением, а n—показателем корня. Принято при n = 2 опускать показатель корня. Поэтому Степень означает

Отметим, что наряду со словом «корень» употребляют слово «радикал». Мы будем применять этот термин в тех случаях, когда корень из числа можно спутать с корнем уравнения.

Введем понятие алгебраического корня. Говорят, что число b является алгебраическим корнем n-й степени из числа а, если Степень Таким образом, по сравнению с понятием арифметического корня здесь опускается требование положительности чисел а и b. Если n =2k — четное число и а > 0, то существуют два алгебраических корня степени 2k из а, а именно Степень (обозначение мы сохраняем здесь для арифметического корня). В самом деле,

Так как четная степень любого действительного числа неотрицательна, то из отрицательного числа нельзя извлечь действительного корня четной степени. Позже мы познакомимся с комплексными числами, введение которых позволяет определять корни четной степени и из отрицательных чисел.

Если n=2k+1 — нечетное число, то из любого действительного числа а можно извлечь корень степени n. Именно если а >0, то этим корнем является Степень Если же а<0 , то этот корень имеет вид— В самом деле, — а >0 и потому

Степени с рациональными показателями

Были определены степени с любыми целыми показателями. Обобщим далее понятие степени, введя степени с любыми рациональными показателями. Это обобщение тесно связано с понятием корня.

Пусть r — рациональное число и а — положительное число. Запишем число r в виде дроби Степень , где p и q — целые числа. Не теряя общности, можно считать, что q>0 (например,

Нам надо определить выражение Степень так, чтобы сохранились все свойства степеней. В частности, должно выполняться равенство:

Из него следует, что Степень надо определить как корень q-й степени из

Мы ограничиваемся при этом арифметическими значениями корней

При р = 1 получаем:

Например,

При Степень мы не определяем смысл выражения , Ясно, что при определении (3) для выражения выполняется соотношение (1).

В следующем пункте мы выведем свойства степеней с рациональными показателями. Нам понадобятся для этого следующие два утверждения. а) Если а и b — положительные числа, причем а>b, и если n — натуральное число, то

Докажем это утверждение индукцией по n. При n = 1 оно имеет место. Пусть уже доказано, что Степень Умножая соответствующие части неравенств получаем, что В силу принципа математической индукции неравенство верно для всех натуральных значений n.

Другое доказательство этого неравенства следует из тождества

Если а > b, а > 0 и b>0, то обе скобки в правой части равенства положительны и потому

Из свойства а) непосредственно вытекает следующее утверждение:

б) Если а и b — такие положительные числа, что для некоторого натурального числа n имеем

В самом деле, если бы мы имели, например, а >b, то по свойству а) выполнялось бы неравенство Степень вопреки предположению.

Каждое рациональное число можно различными способами записать в виде дроби. Например, Степень Определение степени с рациональным показателем на первый взгляд зависит от способа записи показателя в виде дроби. Покажем, что это не так, то есть что для любого натурального числа n при а > 0 выполняется равенство:

Для этого возведем обе части равенства (4) в степень qn. В силу свойства 5) степеней с натуральным показателем и равенства (1) имеем:

С другой стороны, по формуле (1),

Таким образом, qn-е степени обеих частей доказываемого равенства (4) совпадают. В силу утверждения б) отсюда вытекает справедливость равенства (4).

Можно доказать, что определение (2) согласуется с физическим смыслом степеней с показателем Степень (см. стр. 93).

Свойства степеней с рациональными показателями

Докажем, что для степеней с рациональными показателями сохраняются основные свойства степеней с натуральными показателями.

Сначала докажем, что при х >О, у >0 и любом рациональном r

Пусть Степень , где q > 0. Тогда равенство (1) примет вид

Возведем обе части равенства (1′) в степень q. В силу формулы (I), п. 2, и свойства 1) степеней с натуральным показателем имеем:

С другой стороны

Мы доказали, что q-е степени обеих частей доказываемого равенства (1) имеют одно и то же значение Степень Поэтому по утверждению б), п. 2, справедливо и равенство . Но тогда справедливо и равенство (1).

Совершенно так же доказывается, что если х > 0 и у > 0, а r — рациональное число, то

Теперь докажем, что при х > 0 для любых рациональных чисел г, и г2 выполняется равенство:

Сначала рассмотрим случай, когда Степень изображаются дробями с одинаковыми знаменателями:

В этом случае доказываемое равенство принимает вид:

Возведем обе части этого равенства в степень q. Мы получим, что

С другой стороны Степень

Таким образом, q-е степени обеих частей равенства (4) имеют одно и то же значение Степень , а потому равенство (4) справедливо.

Итак, равенство (3) доказано для случая, когда Степень изображаются дробями с одинаковым знаменателем. Но любые два рациональных числа можно представить в виде дробей с одинаковыми знаменателями: если то можно положить Степень Поэтому равенство (3) верно для любых рациональных чисел

Совершенно так же доказывается выполнение равенства

для положительных х и рациональных Степень

Наконец, докажем, что если х — положительное число и — рациональные числа, то Степень

В самом деле, пусть Степень Нам надо доказать, что

Для этого возведем обе части равенства (7) в степень По формуле (1) п. 2, мы имеем

С другой стороны,

Так как Степень степени обеих частей доказываемого равенства (7) имеют одно и то же значение то это равенство справедливо. Тем самым доказано и равенство (6).

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике: