Оглавление:
Если а есть положительное рациональное число, представляющее собой точный квадрат, то арифметический квадратный корень из него есть положительное рациональное число. Например:
![Арифметические корни](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-39940.png)
Если положительное рациональное число Q не представляет собой точного квадрата, то арифметический квадратный корень из него есть положительное иррациональное число. Например:
суть числа иррациональные.
Сказанное относительно арифметического квадратного корня распространяется соответствующим образом на кубические корни и на корни любой степени. Например:
![Арифметические корни](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-39987.png)
Корни суть числа иррациональные.
Действительные корни нечетных степеней из отрицательного числа суть числа отрицательные. Например:
![Арифметические корни](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-39991.png)
Действительных корней четной степени из отрицательных чисел не существует.
Например, не существует такого действительного числа q, чтобы равенство
![Арифметические корни](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-39994.png)
было справедливым.
В самом деле, будет положительным числом и тогда, когда q положительно, и тогда, когда q отрицательно.
Поэтому т. е. символ
не представляет собой никакого действительного числа.
Арифметические корни из степеней
Очевидно, что
![Арифметические корни](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-40005.png)
Правило. Если подкоренное выражение представляет степень положительного числа а и при этом показатель этой степени делится на показатель корня, то арифметический корень будет равен степени, основанием которой служит а, а показателем — частное от деления показателя степени, стоящей под корнем, на показатель корня.
Например,
![Арифметические корни](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-40008.png)
Действительно,
![Арифметические корни](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-40009.png)
Примеры:
![Арифметические корни](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-40011.png)
О выражении
Если а > 0, то
Если же а < 0, то
Во всех случаях
![Арифметические корни](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-40023.png)
Например,
О выражении
Из определения следует, что
![Арифметические корни](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-40030.png)
Действительно, пусть
![Арифметические корни](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-40032.png)
Тогда
![Арифметические корни](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-40033.png)
Подставляя вместо q равное ему выражение получим
![Арифметические корни](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-40040.png)
что и требовалось доказать.
Примеры:
![Арифметические корни](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-40042.png)
Основное свойство арифметического корня
Вспомогательные предложения
Прежде чем формулировать и доказывать основное свойство арифметического корня, докажем несколько вспомогательных предложений.
Определение:
Если М и N два различных действительных числа, то М> N, если разность М— N есть число положительное.
Предложение 1-е.
Если А > В и m>0, то Am>Вm.
Доказательство:
Разность Am — Вm можно записать в виде
![Арифметические корни](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-40048.png)
По условию А — В > 0 и m > 0, следовательно, разность Am — Вm есть число положительное, а это и значит, что Am > Вm. Как раз это и требовалось доказать.
Предложение 2-е.
Если а > b и с > d и при этом все числа а, b, с, d положительные, то
![Арифметические корни](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-40049.png)
Доказательство:
Из того, что а > b и с > 0 следует ас > bc. Из того, что
с > d и b > О следует bc > bd. Из того, что ас>bс и bc>bd следует, что ac>bd, что и требовалось доказать.
Предложение 3-е.
Если х > у и при этом числа х, у— положительные, то >
(n — целое положительное число).
Доказательство:
Из того, что х > у и х>0 следует
![Арифметические корни](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-40054.png)
Из того, что х > у и у > 0 следует
Из того, что и
следует
Продолжая аналогичные рассуждения, получим:
![Арифметические корни](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-40069.png)
что и требовалось доказать.
Предложение 4-е.
Если и числа х и у положительные, то х = у.
Доказательство. Предположим, что х> у, тогда что противоречит условию. Предположим, что у > х, тогда
что также противоречит условию. Значит, не может быть, чтобы числа х к у были бы различными. Как раз это и требовалось доказать.
Примечание:
Из равенства не всегда следует равенство х = у. Например, равенство
является верным, хотя числа+ 5 и — 5 не равны друг другу.
Формулировка основного свойства арифметического корня
Арифметическое значение корня не изменится, если показатель корня умножить на натуральное число, а подкоренное выражение возвысить в степень этого же натурального числа, т. е.
(q и р — натуральные числа и Q
0).
Доказательство:
Очевидно, что (см. стр. 270). Также очевидно, что
![Арифметические корни](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-40098.png)
Две величины, порознь равные третьей, равны между собой. Поэтому
![Арифметические корни](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-40099.png)
Но так как числа — положительны, то
![Арифметические корни](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-40103.png)
что и требовалось доказать.
Примеры:
![Арифметические корни](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-40106.png)
Основное свойство арифметического корня позволяет нам сокращать показатель корня в тех случаях, когда это возможно.
Примеры:
![Арифметические корни](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-40108.png)
Основное свойство арифметического корня позволяет нам приводить к общему показателю корни, имеющие разные показатели.
Примеры:
Корни можно заменить соответственно следующими корнями
![Арифметические корни](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-40111.png)
Корни можно заменить соответственно корнями
![Арифметические корни](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-40115.png)
Корни можно заменить соответственно корнями
![Арифметические корни](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-40120.png)
Корни можно заменить соответственно корнями
![Арифметические корни](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-40124.png)
Чтобы определить, какое из двух чисел, например, или
больше, приведем эти корни к общему показателю:
![Арифметические корни](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-40129.png)
Ясно, что
Действия над арифметическими корнями
Умножение
Произведение корней, имеющих одинаковые показатели, равно корню с тем же показателем из произведения подкоренных выражений перемножаемых корней, т. е.
![Арифметические корни](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-40133.png)
(n — число натуральное, а и b — числа положительные).
Доказательство:
Очевидно, что
![Арифметические корни](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-40134.png)
Tакже очевидно, что
![Арифметические корни](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-40136.png)
Две величины, порознь равные третьей, равны между собой. Поэтому
![Арифметические корни](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-40137.png)
Но так как числа положительные, то
![Арифметические корни](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-40142.png)
что и требовалось доказать.
Совершенно аналогичным путем можно доказать правила для других действий.
Другие действия
![Арифметические корни](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-40145.png)
(Правило деления корней, имеющих одинаковые показатели.)
![Арифметические корни](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-40147.png)
(Правило возведения корня в степень.)
![Арифметические корни](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-40149.png)
(Правило извлечения корня из корня.)
Учащемуся предлагается самостоятельно сформулировать и доказать каждое из трех последних правил.
Примечание:
Обратим внимание на то, что равенство
![Арифметические корни](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-40150.png)
справедливо лишь при условии, что а > 0. (При не будет действительным числом.)
Примеры:
![Арифметические корни](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-40155.png)
Правило. Чтобы перемножить или разделить корни, имеющие разные показатели, необходимо привести эти корни предварительно к общему показателю.
Примеры:
![Арифметические корни](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-40158.png)
Запишем равенство в обратном порядке:
Отсюда правило: корень из произведения равен произведению корней из сомножителей.
Пример:
![Арифметические корни](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-40179.png)
Аналогично
![Арифметические корни](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-40181.png)
Пример:
![Арифметические корни](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-40183.png)
Некоторые важные преобразования
Вывод множителей из-под знака корня
Пусть а и b — положительные числа. Тогда
![Арифметические корни](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-40187.png)
Рассмотрим выражение
![Арифметические корни](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-40188.png)
Пусть при делении числа m на n получается в частном k, а в остатке r. Тогда и мы получим
![Арифметические корни](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-40194.png)
Пусть a — отрицательное число, а b — положительное. Тогда
![Арифметические корни](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-40197.png)
Итак, если подкоренное выражение разлагается на такие множители, что из некоторых можно извлечь точный корень, то такие множители по извлечении из них корня могут быть выведены из-под знака корня в качестве множителей.
Введение под знак корня
Пусть а и b — положительные числа. Тогда
![Арифметические корни](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-40201.png)
Пусть а — отрицательное число, а b — положительное. Тогда
![Арифметические корни](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-40204.png)
Преобразование корня из дроби к корню из целого выражения
Пусть а и b — положительные числа. Тогда
![Арифметические корни](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-40207.png)
Устранение иррациональности в знаменателе дроби
Устранить иррациональность в знаменателе дроби — это значит преобразовать дробь, знаменатель которой содержит корни, к новой дроби, знаменатель которой корней не содержит.
Мы рассмотрим лишь некоторые частные случаи такого преобразования.
а) Случай, когда знаменатель есть корень.
![Арифметические корни](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-40210.png)
![Арифметические корни](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-40211.png)
б) Случай, когда знаменатель есть сумма или разность, содержащая квадратные корни.
![Арифметические корни](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-40212.png)
в) Случай, когда знаменатель есть сумма или разность, содержащая кубические корни.
![Арифметические корни](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-40213.png)
![Арифметические корни](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-40214.png)
Устранение иррациональности в числителе дроби
Устранить иррациональность в числителе дроби — это значит преобразовать дробь, числитель которой содержит корни, к новой дроби, числитель которой корней не содержат.
Эта операция производится аналогично тому, как и операции, указанные в предыдущем пункте. Например:
![Арифметические корни](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-40215.png)
Нормальный вид корня
Корень считается приведенным к нормальному виду, если:
1) возможные множители вынесены за знак корня;
2) подкоренное выражение приведено к целому виду;
3) показатель корня и показатель степени подкоренного выражения сделаны взаимно простыми.
Примеры:
![Арифметические корни](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-40216.png)
Подобные корни и их приведение
Корни называются подобными, если после приведения их к нормальному виду окажутся одинаковыми как их подкоренные выражения, так и показатели корней.
Примеры:
Корни — подобны.
Действительно,
![Арифметические корни](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-40218.png)
Корни — подобны. Действительно,
![Арифметические корни](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-40220.png)
Корни подобны. Действительно,
![Арифметические корни](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-40222.png)
Приведение подобных корней
Примеры:
![Арифметические корни](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-40223.png)
При извлечении корня из суммы нельзя производить извлечение корней из слагаемых, т. е. нельзя писать
![Арифметические корни](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-40224.png)
Например:
![Арифметические корни](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-40225.png)
Отсюда видно, что
![Арифметические корни](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-40226.png)
Преобразование сложного корня
Выражения вида
![Арифметические корни](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-40227.png)
называются сложными корнями.
Теорема:
Если а > 0, b > 0 и то верны формулы
![Арифметические корни](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-40229.png)
Докажем справедливость первой формулы. Очевидно, что
![Арифметические корни](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-40231.png)
С другой стороны,
![Арифметические корни](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-40232.png)
Две величины, порознь равные третьей, равны между собой. Поэтому
![Арифметические корни](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-40233.png)
Основания этих квадратов положительны, а поэтому
![Арифметические корни](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-40234.png)
что и требовалось доказать.
Совершенно так же доказывается и вторая формула.
Доказанные формулы представляют особый интерес в том случае, когда разность представляет собой точный квадрат. В этом случае сложный корень представляется в виде суммы или разности двух несложных корней. Например:
![Арифметические корни](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-40236.png)
Замечание:
Корни иногда называют радикалами. есть радикал n-й степени. Символ
eсть знак радикала n-й степени.
Общее определение корня
Корнем n-й степени из числа а называется всякое число х, n-я степень которого равна а.
Правило нахождения всех значений корня n-й степени из любого числа изложено в гл. «Комплексные числа».
В настоящей главе мы изучали лишь арифметические значения корней.
О возможности нахождения арифметического корня с любой степенью точности
Мы покажем сейчас, что элементарным способом можно находить значение любого арифметического корня с любой степенью точности. Сущность этого способа раскроем на примере хотя бы
Пусть требуется найти Сначала среди чисел 1,0; 1,1; 1,2; 1,3; 1,4; 1,5; 1,6; 1,7; 1,8; 1,9; 2,0 найдем два таких рядом стоящих числа, чтобы куб левого был меньше 2, а куб правого — больше 2.
Очевидно, что Поэтому
Далее Значит,
Наконец, Значит,
Теперь можно сказать, что 1,2 будет приближенным значением с недостатком, а 1,3 с избытком, с точностью до
.
Чтобы получить приближенные значения с точностью до , надо испытать числа
![Арифметические корни](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-40249.png)
Этот процесс можно продолжить как угодно далеко и таким путем получить значение с любой степенью точности.
Изложенный элементарный способ имеет принципиальное значение, но не практическое. Практически пользоваться этим способом крайне неудобно, так как он слишком громоздок. Принципиальное же значение этого способа заключается в том, что он убеждает нас в возможности отыскания значений любого арифметического корня с любой степенью точности.
Для практического же вычисления значений любых арифметических корней существуют другие более удобные способы. Один из этих способов мы встретим в главе «Логарифмы».
Для нахождения приближенных значений часто встречающихся величин можно пользоваться готовыми таблицами. Пример подобной таблицы приведен ниже.
Таблица квадратов, кубов, корней квадратных, корней кубических и обратных величин
![Арифметические корни](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-40250.png)
Такого рода таблицы, значительно более полные и с более высокой степенью точности, даны, например, в книге Барлоу: «Таблицы квадратов, кубов, корней квадратных, корней кубических и обратных величин».
Решение заданий и задач по предметам:
Дополнительные лекции по высшей математике:
- Тождественные преобразования алгебраических выражений
- Функции и графики
- Преобразования графиков функций
- Квадратная функция и её графики
- Алгебраические неравенства
- Неравенства
- Неравенства с переменными
- Прогрессии в математике
- Арифметическая прогрессия
- Геометрическая прогрессия
- Показатели в математике
- Логарифмы в математике
- Исследование уравнений
- Уравнения высших степеней
- Уравнения высших степеней с одним неизвестным
- Комплексные числа
- Непрерывная дробь (цепная дробь)
- Алгебраические уравнения
- Неопределенные уравнения
- Соединения
- Бином Ньютона
- Число е
- Непрерывные дроби
- Функция
- Исследование функций
- Предел
- Интеграл
- Двойной интеграл
- Тройной интеграл
- Интегрирование
- Неопределённый интеграл
- Определенный интеграл
- Криволинейные интегралы
- Поверхностные интегралы
- Несобственные интегралы
- Кратные интегралы
- Интегралы, зависящие от параметра
- Квадратный трехчлен
- Производная
- Применение производной к исследованию функций
- Приложения производной
- Дифференциал функции
- Дифференцирование в математике
- Формулы и правила дифференцирования
- Дифференциальное исчисление
- Дифференциальные уравнения
- Дифференциальные уравнения первого порядка
- Дифференциальные уравнения высших порядков
- Дифференциальные уравнения в частных производных
- Тригонометрические функции
- Тригонометрические уравнения и неравенства
- Показательная функция
- Показательные уравнения
- Обобщенная степень
- Взаимно обратные функции
- Логарифмическая функция
- Уравнения и неравенства
- Положительные и отрицательные числа
- Алгебраические выражения
- Иррациональные алгебраические выражения
- Преобразование алгебраических выражений
- Преобразование дробных алгебраических выражений
- Разложение многочленов на множители
- Многочлены от одного переменного
- Алгебраические дроби
- Пропорции
- Уравнения
- Системы уравнений
- Системы уравнений высших степеней
- Системы алгебраических уравнений
- Системы линейных уравнений
- Системы дифференциальных уравнений
- Арифметический квадратный корень
- Квадратные и кубические корни
- Извлечение квадратного корня
- Рациональные числа
- Иррациональные числа
- Квадратные уравнения
- Иррациональные уравнения
- Последовательность
- Ряды сходящиеся и расходящиеся
- Тригонометрические функции произвольного угла
- Тригонометрические формулы
- Обратные тригонометрические функции
- Теорема Безу
- Математическая индукция
- Показатель степени
- Показательные функции и логарифмы
- Множество
- Множество действительных чисел
- Числовые множества
- Преобразование рациональных выражений
- Преобразование иррациональных выражений
- Геометрия
- Действительные числа
- Степени и корни
- Степень с рациональным показателем
- Тригонометрические функции угла
- Тригонометрические функции числового аргумента
- Тригонометрические выражения и их преобразования
- Преобразование тригонометрических выражений
- Комбинаторика
- Вычислительная математика
- Прямая линия на плоскости и ее уравнения
- Прямая и плоскость
- Линии и уравнения
- Прямая линия
- Уравнения прямой и плоскости в пространстве
- Кривые второго порядка
- Кривые и поверхности второго порядка
- Числовые ряды
- Степенные ряды
- Ряды Фурье
- Преобразование Фурье
- Функциональные ряды
- Функции многих переменных
- Метод координат
- Гармонический анализ
- Вещественные числа
- Предел последовательности
- Аналитическая геометрия
- Аналитическая геометрия на плоскости
- Аналитическая геометрия в пространстве
- Функции одной переменной
- Высшая алгебра
- Векторная алгебра
- Векторный анализ
- Векторы
- Скалярное произведение векторов
- Векторное произведение векторов
- Смешанное произведение векторов
- Операции над векторами
- Непрерывность функций
- Предел и непрерывность функций нескольких переменных
- Предел и непрерывность функции одной переменной
- Производные и дифференциалы функции одной переменной
- Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
- Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- Матрицы
- Линейные и евклидовы пространства
- Линейные отображения
- Дифференциальные теоремы о среднем
- Теория устойчивости дифференциальных уравнений
- Функции комплексного переменного
- Преобразование Лапласа
- Теории поля
- Операционное исчисление
- Системы координат
- Рациональная функция
- Интегральное исчисление
- Интегральное исчисление функций одной переменной
- Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
- Отношение в математике
- Математическая логика
- Графы в математике
- Линейные пространства
- Первообразная и неопределенный интеграл
- Линейная функция
- Выпуклые множества точек
- Система координат