Арифметический корень в математике с примерами решения и образцами выполнения

Оглавление:

Если а есть положительное рациональное число, представляющее собой точный квадрат, то арифметический квадратный корень из него есть положительное рациональное число. Например:

Если положительное рациональное число Q не представляет собой точного квадрата, то арифметический квадратный корень из него есть положительное иррациональное число. Например:

Арифметические корни суть числа иррациональные.

Сказанное относительно арифметического квадратного корня распространяется соответствующим образом на кубические корни и на корни любой степени. Например:

Корни Арифметические корни суть числа иррациональные.

Действительные корни нечетных степеней из отрицательного числа суть числа отрицательные. Например:

Действительных корней четной степени из отрицательных чисел не существует.

Например, не существует такого действительного числа q, чтобы равенство

было справедливым.

В самом деле, Арифметические корни будет положительным числом и тогда, когда q положительно, и тогда, когда q отрицательно.

Поэтому Арифметические корни т. е. символ не представляет собой никакого действительного числа.

Арифметические корни из степеней

Очевидно, что

Правило. Если подкоренное выражение представляет степень положительного числа а и при этом показатель этой степени делится на показатель корня, то арифметический корень будет равен степени, основанием которой служит а, а показателем — частное от деления показателя степени, стоящей под корнем, на показатель корня.

Например,

Действительно,

Примеры:

О выражении Арифметические корни

Если а > 0, то Арифметические корни
Если же а < 0, то

Во всех случаях

Например, Арифметические корни

О выражении Арифметические корни

Из определения следует, что

Действительно, пусть

Тогда

Подставляя вместо q равное ему выражение Арифметические корни получим

что и требовалось доказать.

Примеры:

Основное свойство арифметического корня

Вспомогательные предложения

Прежде чем формулировать и доказывать основное свойство арифметического корня, докажем несколько вспомогательных предложений.

Определение:

Если М и N два различных действительных числа, то М> N, если разность М— N есть число положительное.

Предложение 1-е.
Если А > В и m>0, то Am>Вm.

Доказательство:

Разность Am — Вm можно записать в виде

По условию А — В > 0 и m > 0, следовательно, разность Am — Вm есть число положительное, а это и значит, что Am > Вm. Как раз это и требовалось доказать.

Предложение 2-е.
Если а > b и с > d и при этом все числа а, b, с, d положительные, то

Доказательство:

Из того, что а > b и с > 0 следует ас > bc. Из того, что
с > d и b > О следует bc > bd. Из того, что ас>bс и bc>bd следует, что ac>bd, что и требовалось доказать.

Предложение 3-е.
Если х > у и при этом числа х, у— положительные, то Арифметические корни > (n — целое положительное число).

Доказательство:

Из того, что х > у и х>0 следует

Из того, что х > у и у > 0 следует Арифметические корни
Из того, что и следует

Продолжая аналогичные рассуждения, получим:

что и требовалось доказать.

Предложение 4-е.
Если Арифметические корни и числа х и у положительные, то х = у.

Доказательство. Предположим, что х> у, тогда Арифметические корни что противоречит условию. Предположим, что у > х, тогда что также противоречит условию. Значит, не может быть, чтобы числа х к у были бы различными. Как раз это и требовалось доказать.

Примечание:

Из равенства Арифметические корни не всегда следует равенство х = у. Например, равенство является верным, хотя числа+ 5 и — 5 не равны друг другу.

Формулировка основного свойства арифметического корня

Арифметическое значение корня не изменится, если показатель корня умножить на натуральное число, а подкоренное выражение возвысить в степень этого же натурального числа, т. е.

Арифметические корни (q и р — натуральные числа и Q 0).

Доказательство:
Очевидно, что Арифметические корни (см. стр. 270). Также очевидно, что

Две величины, порознь равные третьей, равны между собой. Поэтому

Но так как числа Арифметические корни — положительны, то

что и требовалось доказать.

Примеры:

Основное свойство арифметического корня позволяет нам сокращать показатель корня в тех случаях, когда это возможно.

Примеры:

Основное свойство арифметического корня позволяет нам приводить к общему показателю корни, имеющие разные показатели.

Примеры:

Корни Арифметические корни можно заменить соответственно следующими корнями

Корни Арифметические корни можно заменить соответственно корнями

Чтобы определить, какое из двух чисел, например, Арифметические корни или больше, приведем эти корни к общему показателю:

Ясно, что Арифметические корни

Действия над арифметическими корнями

Умножение

Произведение корней, имеющих одинаковые показатели, равно корню с тем же показателем из произведения подкоренных выражений перемножаемых корней, т. е.

(n — число натуральное, а и b — числа положительные).

Доказательство:

Очевидно, что

Tакже очевидно, что

Две величины, порознь равные третьей, равны между собой. Поэтому

Но так как числа Арифметические корни положительные, то

что и требовалось доказать.

Совершенно аналогичным путем можно доказать правила для других действий.

Другие действия

(Правило деления корней, имеющих одинаковые показатели.)

(Правило возведения корня в степень.)

(Правило извлечения корня из корня.)

Учащемуся предлагается самостоятельно сформулировать и доказать каждое из трех последних правил.

Примечание:

Обратим внимание на то, что равенство

справедливо лишь при условии, что а > 0. (При Арифметические корни не будет действительным числом.)

Примеры:

Правило. Чтобы перемножить или разделить корни, имеющие разные показатели, необходимо привести эти корни предварительно к общему показателю.

Примеры:

Запишем равенство Арифметические корни в обратном порядке:
Отсюда правило: корень из произведения равен произведению корней из сомножителей.

Пример:

Аналогично

Пример:

Некоторые важные преобразования

Вывод множителей из-под знака корня

Пусть а и b — положительные числа. Тогда

Рассмотрим выражение

Пусть при делении числа m на n получается в частном k, а в остатке r. Тогда Арифметические корни и мы получим

Пусть a — отрицательное число, а b — положительное. Тогда

Итак, если подкоренное выражение разлагается на такие множители, что из некоторых можно извлечь точный корень, то такие множители по извлечении из них корня могут быть выведены из-под знака корня в качестве множителей.

Введение под знак корня

Пусть а и b — положительные числа. Тогда

Пусть а — отрицательное число, а b — положительное. Тогда

Преобразование корня из дроби к корню из целого выражения

Пусть а и b — положительные числа. Тогда

Устранение иррациональности в знаменателе дроби

Устранить иррациональность в знаменателе дроби — это значит преобразовать дробь, знаменатель которой содержит корни, к новой дроби, знаменатель которой корней не содержит.

Мы рассмотрим лишь некоторые частные случаи такого преобразования.

а) Случай, когда знаменатель есть корень.

б) Случай, когда знаменатель есть сумма или разность, содержащая квадратные корни.

в) Случай, когда знаменатель есть сумма или разность, содержащая кубические корни.

Устранение иррациональности в числителе дроби

Устранить иррациональность в числителе дроби — это значит преобразовать дробь, числитель которой содержит корни, к новой дроби, числитель которой корней не содержат.

Эта операция производится аналогично тому, как и операции, указанные в предыдущем пункте. Например:

Нормальный вид корня

Корень считается приведенным к нормальному виду, если:
1) возможные множители вынесены за знак корня;
2) подкоренное выражение приведено к целому виду;
3) показатель корня и показатель степени подкоренного выражения сделаны взаимно простыми.

Примеры:

Подобные корни и их приведение

Корни называются подобными, если после приведения их к нормальному виду окажутся одинаковыми как их подкоренные выражения, так и показатели корней.

Примеры:

Корни Арифметические корни — подобны.
Действительно,

Корни Арифметические корни — подобны. Действительно,

Корни Арифметические корни подобны. Действительно,

Приведение подобных корней

Примеры:

При извлечении корня из суммы нельзя производить извлечение корней из слагаемых, т. е. нельзя писать

Например:

Отсюда видно, что

Преобразование сложного корня

Выражения вида

называются сложными корнями.

Теорема:

Если а > 0, b > 0 и Арифметические корни то верны формулы

Докажем справедливость первой формулы. Очевидно, что

С другой стороны,

Две величины, порознь равные третьей, равны между собой. Поэтому

Основания этих квадратов положительны, а поэтому

что и требовалось доказать.

Совершенно так же доказывается и вторая формула.
Доказанные формулы представляют особый интерес в том случае, когда разность Арифметические корни представляет собой точный квадрат. В этом случае сложный корень представляется в виде суммы или разности двух несложных корней. Например:

Замечание:

Корни иногда называют радикалами.
Арифметические корни есть радикал n-й степени. Символ eсть знак радикала n-й степени.

Общее определение корня

Корнем n-й степени из числа а называется всякое число х, n-я степень которого равна а.

Правило нахождения всех значений корня n-й степени из любого числа изложено в гл. «Комплексные числа».

В настоящей главе мы изучали лишь арифметические значения корней.

О возможности нахождения арифметического корня с любой степенью точности

Мы покажем сейчас, что элементарным способом можно находить значение любого арифметического корня с любой степенью точности. Сущность этого способа раскроем на примере хотя бы Арифметические корни

Пусть требуется найти Арифметические корни Сначала среди чисел 1,0; 1,1; 1,2; 1,3; 1,4; 1,5; 1,6; 1,7; 1,8; 1,9; 2,0 найдем два таких рядом стоящих числа, чтобы куб левого был меньше 2, а куб правого — больше 2.

Очевидно, что Арифметические корни Поэтому
Далее Значит,
Наконец, Значит,

Теперь можно сказать, что 1,2 будет приближенным значением Арифметические корни с недостатком, а 1,3 с избытком, с точностью до .

Чтобы получить приближенные значения с точностью до Арифметические корни , надо испытать числа

Этот процесс можно продолжить как угодно далеко и таким путем получить значение Арифметические корни с любой степенью точности.

Изложенный элементарный способ имеет принципиальное значение, но не практическое. Практически пользоваться этим способом крайне неудобно, так как он слишком громоздок. Принципиальное же значение этого способа заключается в том, что он убеждает нас в возможности отыскания значений любого арифметического корня с любой степенью точности.

Для практического же вычисления значений любых арифметических корней существуют другие более удобные способы. Один из этих способов мы встретим в главе «Логарифмы».

Для нахождения приближенных значений часто встречающихся величин можно пользоваться готовыми таблицами. Пример подобной таблицы приведен ниже.

Таблица квадратов, кубов, корней квадратных, корней кубических и обратных величин

Такого рода таблицы, значительно более полные и с более высокой степенью точности, даны, например, в книге Барлоу: «Таблицы квадратов, кубов, корней квадратных, корней кубических и обратных величин».

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике: