Оглавление:
Метод интегрирования по частям
Пусть и — функции, имеющие непрерывные производные. Тогда . Интегрируя это равенство, получим
Полученная формула называется формулой интегрирования по частям. Она дает возможность свести вычисление интеграла к вычислению интеграла , который может оказаться существенно более простым, чем исходный.
Интегрирование по частям состоит в том, что подынтегральное выражение заданного интеграла представляется каким-либо образом в виде произведения двух сомножителей и (это, как правило, можно осуществить несколькими способами); затем, после нахождения и , используется формула интегрирования по частям. Иногда эту формулу приходится использовать несколько раз.
Укажем некоторые типы интегралов, которые удобно вычислять методом интегрирования по частям.
- Интегралы вида , , , где — многочлен, — число. Удобно положить , а за обозначить все остальные сомножители.
- Интегралы вида . Удобно положить , а за обозначить остальные сомножители.
- Интегралы вида , где и — числа. За можно принять функцию .
Пример №30.6.
Найти .
Решение:
Пусть (можно положить ). Следовательно, по формуле интегрирования по частям:
Пример №30.7.
Найти .
Решение:
Пусть . Поэтому
Дополнительные примеры:
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
Метод непосредственного интегрирования |
Метод интегрирования подстановкой |
Понятия о рациональных функциях |
Дробно-рациональная функция |