Оглавление:
Формула Ньютона -Лейбница
Теорема 1. Пусть функция — непрерывна на отрезке . Тогда функция
является первообразной для функции на отрезке , то есть .
Доказательство. Пусть .
что и требовалось доказать.
Замечание. Аналогично можно доказать, что для функции верна формула: .
Теорема 2. (основная теорема интегрального исчисления).
Пусть функция — непрерывна на отрезке . — ее первообразная на . Тогда
формула Ньютона-Лейбница.
Доказательство. Рассмотрим функцию . По теореме 1 — первообразная для . По теореме 1 § 18: , то есть
. В частности при то есть:
, что и требовалось доказать.
Задача №51
Найти площадь фигуры Ф , ограниченной линиями .
Рис. 1. График функции .
Если функция — кусочно-непрерывна на , то формула (2) -также верна в случае, когда — непрерывна на .
Задача №52
.
Рис.2. График функции
Функция — первообразная для при
И, если — непрерывна и
Если же , то разрывна в точке , и формула (2) не выполняется.
Замечание. Если — кусочно-непрерывна на , то при вычислении проще разбить отрезок на отрезки непрерывности и применить формулу (2) па каждом из отрезков, используя свойство аддитивности интеграла.
Например, для из примера 2:
Задача №53
Задача №54
Вычислить . Подинтегральная функция имеет на промежутке [0; 2] точку разрыва первого рода: , поэтому:
Задача №55
Вычислить .
— первообразная для на любом отрезке не содержащем точек , (см. пример 3 § 23).
имеет разрыв в точке и не является первообразной для на этом промежутке.
Рис.3. График функции
Поэтому .
Для вычисления интеграла разобьем отрезок на отрезки и и доопределим функцию в точке до непрерывной па первом и втором интервале: .
Тогда
Где
Искомый интеграл можно также вычислить , найдя первообразную для па всем промежутке :
(см. графики ).
Рис .4. График функции
И тогда .
Эта теория и задачи с решением взяты со страницы готовых задач с решением по математическому анализу:
Решение задач по математическому анализу
Возможно эти темы вам будут полезны: