Свойства определенного интеграла
1. 
2. Пусть функции 
— интегрируемы на 
, тогда 
— также интегрируема на 
и 
(линейность интеграла).
Доказательство. По формуле (1):
. По формуле (3):
, что и требовалось доказать.
3. Аддитивность интеграла. Если функция 
интегрируема на отрезке 
, то 
интегрируема на 
и
Верно и наоборот.
Доказательство. Так как 
— интегрируема на 
, то она ограничена на ( теорема 1) и, следовательно, ограничена на отрезке 
и 
.
Пусть 
и 
разбиение такое , что 
(см. формулу (6)). В разбиение можно добавить точку с, если ее там нет, при этом полученное разбиение также будет удовлетворять неравенству (6). Тогда
, поэтому и ограничение разбиения на 
будут удовлетворять неравенству (6) и, следовательно (см. соотношение (6)), будет интегрируема на . Будем измельчать разбиение так, чтобы 
:
что и требовалось доказать.
4. Пусть — интегрируема на и 
, тогда 
.
Доказательство. 
.
5. Пусть 
— интегрируемы на и удовлетворяют неравенству 
, тогда 
.
Доказательство.
6. Пусть — интегрируема на , тогда 
— также интегрируема на и
Доказательство следует из неравенства 
7. Пусть — интегрируема на 
, тогда 
Доказательство, 
по свойству 5:
8. Пусть — непрерывна па . тогда 
точка 
такая, что
Доказательство. Так как 
— непрерывна, то опа достигает на своей точной верхней М и нижней m граней (теорема 1 §11). Тогда из формулы (9) следует, что
Так как 
— непрерывна, то из т.2 § 11 следует, 
такая, что 
, что и требовалось доказать.
Замечание. Число 
называется интегральным средним значением функции 
на отрезке 
. Если 
, то согласно примеру 2 
равен площади 
фигуры 
.
Из формулы (10) следует, что эта площадь равна площади прямоугольника высотой 
с основанием 
:
Рис.6. 
Эта теория и задачи с решением взяты со страницы готовых задач с решением по математическому анализу:
Решение задач по математическому анализу
Возможно эти темы вам будут полезны:
