Оглавление:
Полярная система координат
Определение 1. Рассмотрим плоскость с прямоугольной декартовой системой координат . Пусть — точка на плоскости, . Полярными координатами точки М называются числа — длина ее радиус-вектора (полярный радиус) и — угол, образованный радиус-вектором с положительным направлением оси (полярный угол), . Точка О при этом называется полюсом, а полуось — полярной осью.
Замечание. Зависимость между прямоугольными и полярными координатами точки М задается в виде:
Рис. 1. Полярные координаты точки.
Полярный полюс О и полярную ось можно выбрать на плоскости и не вводя прямоугольную систему координат:
Задача №83
Построим на плоскости линию, заданную уравнением: — лемниската.
Решение:
.
Вычислим значения при различных значениях
Проводим лучи из начала координат под углами к оси и на них откладываем отрезки длины , получим :
Рис.З. Лемниската
Задача №84
а) Построим кривую — кардиоида. Рассуждая, как в примере 1 получим:
Рис.4. Кардиоида .
б) — окружность.
Рис.5. Окружность .
в) — спираль Архимеда.
Рис.6. Спираль Архимеда .
г) — трехлепестковая роза.
Рис.7. Трехлепестковая роза .
Упражнение 1. Построить графики из примеров 1 и 2 в системе Mathematica (использовать функцию PolarPlot, см.пример 10 § 17).
Замечание. Если в определении 1 отбросить требование и не требовать , то формулы (1) будут задавать непрерывное отображение точек плоскости на точки плоскости .
При этом, если , то векторы сопаправлены, если , то — противоположно направлены:
Тогда, с учетом (1), кривую можно рассматривать как заданную параметрически в виде: — параметр.
В этом случае па кривой получаются два дополнительных лепестка, когда , соответствующие случаю (см.пример 10 § 17). Фактически, такая кривая — это параметрическая кривая:
(см.пример 9 § 30).
На кривой каждый из лепестков проходится дважды и задается параметрически формулами:
(см.пример 10 § 30).
Упражнение 2. Используя команду PolarPlot построить графики , (сравни с примерами 9 — 11 § 30).
Пусть — кривая в полярной системе координат, — непрерывна при . Рассмотрим на плоскости криволинейный сектор Найдем его площадь. Заметим, что сектору Ф соответствует обычная криволинейная трапеция па плоскости
Разобьем фигуру Ф на n частичных фигур лучами На плоскости получаем обычное разбиение трапеции:
Рассмотрим, например, нижние суммы Дарбу:
Рис.8. Нижняя сумма Дарбу .
Каждое слагаемое в нижней сумме равно площади обычного кругового сектора радиуса , где ,
таким образом,
для нижних сумм и
для верхних сумм Дарбу, где Суммы (2) и (3) — суммы Дарбу для функции (см.формулы (5) § 24), поэтому
Задача №85
Найти площадь ограниченную лемнискатой (см.пример 1).
Решение:
По формуле (4):
площадь одного лепестка.
Поэтому
Задача №86
Найти площадь фигуры ограниченной линиями: и (вне круга).
Рис.8. Фигура .
Решение:
Найдем точки пересечения кривых: ; . По формуле (4):
Задача №87
. Вычислим
Преобразуем уравнение — окружность радиуса 1 с центром в точке (1; 0).
Рис.9. Окружность .
При изменении от 0 до окружность проходится дважды и оба раза против часовой стрелки, поэтому (см. § 30) найденное значение интеграла задает удвоенную площадь круга.
Упражнение 3. Пусть
Проверить, что (см. (7) §30):
Упражнение 4. Используя формулу (4), найти площади фигур, ограниченных линиями: (сравнить с примерами 9 — 11 § 30).
Упражнение 5. Найти площадь петли кривой — (Декартов лист).
Рис. 10. Кривая и наклонная асимптота .
Указание. Перейти в полярную систему координат.
Эта теория и задачи с решением взяты со страницы готовых задач с решением по математическому анализу:
Решение задач по математическому анализу
Возможно эти темы вам будут полезны: