Оглавление:
Площадь поверхности вращения
Определение 1. Пусть L — простая кривая на плоскости заданная явно в виде (см. § 30). Пусть функция — непрерывна и неотрицательна . Разобьем отрезок частичных отрезков точками и обозначим это разбиение . Пусть
— диаметр разбиения.
Пусть точки на кривой . Рассмотрим ломаную последовательно проходящую через точки При вращении кривой вокруг оси каждое звено ломаной описывает поверхность . площадь которой (боковая поверхность усеченного конуса).
площадь всей поверхности.
Если предел при площади не зависящий от способа разбиения отрезка, то он называется площадью q поверхности вращения кривой L вокруг оси
Таким образом
Замечание. Пусть функция — непрерывно-дифференцируема на отрезке , тогда — площадь боковой поверхности усеченного конуса; (по теореме Лагранжа (см. теорему 4 § 12) . Поэтому
Таким образом:
Где — дифференциал дуги. Формулы (2) и (3) приведены для кривых L, лежащих выше оси . В общем случае верны формулы:
Если кривая L задала параметрически в виде
то (см. § 32)
, поэтому
Для кривой L заданной в полярных координатах уравнением , , (см. § 32), и
Задача №100
— верхняя полуокружность радиуса R.
Найдем площадь поверхности при вращении вокруг оси .
Решение:
, по формуле (2):
Задача №101
— верхняя половина астроиды
Найдем .
Решение:
(см. пример 1 § 32). Пусть , тогда по формуле (6):
Поэтому площадь всей поверхности .
Задача №102
— лепесток лемнискаты, расположенный в первой четверти
Найдем .
Решение:
.
. По формуле (7):
Эта теория и задачи с решением взяты со страницы готовых задач с решением по математическому анализу:
Решение задач по математическому анализу
Возможно эти темы вам будут полезны: