Оглавление:
Определение производной; ее механический и геометрический смысл. Уравнение касательной и нормали к кривой
Пусть функция определена на некотором интервале . Проделаем следующие операции:
- аргументу дадим приращение ;
- найдем соответствующее приращение функции: ;
- составим отношение приращения функции к приращению аргумента: ;
- найдем предел этого отношения при .
Если этот предел существует, то его называют производной функции и обозначают одним из символов .
Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.
Итак, по определению
Производная функции есть некоторая функция , произведенная из данной функции.
Функция , имеющая производную в каждой точке интервала , называется дифференцируемой в этом интервале; операция нахождения производной функции называется дифференцированием.
Значение производной функции в точке обозначается одним из символов: или .
Пример №20.1.
Найти производную функции , .
Решение:
- Значению даем приращение ;
- находим приращение функции ;
- значит, ;
- следовательно, .
Пример №20.2.
Найти производную функции .
Решение:
- Аргументу даем приращение ;
- находим ;
- составляем отношение ;
- находим предел этого отношения:
Таким образом, .
В задаче про скорость прямолинейного движения было получено .
Это равенство перепишем в виде , т. е. скорость прямолинейного движения материальной точки в момент времени есть производная от пути по времени . В этом заключается механический смысл производной.
Обобщая, можно сказать, что если функция описывает какой-либо физический процесс, то производная есть скорость протекания этого процесса. В этом состоит физический смысл производной.
В задаче про касательную к кривой был найден угловой коэффициент касательной . Это равенство перепишем в виде , т. е. производная в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке, абсцисса которой равна . В этом заключается геометрический смысл производной.
Если точка касания имеет координаты (см. рис. 130), то угловой коэффициент касательной есть . Пользуясь уравнением прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении , можно записать уравнение касательной: .
Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания, называется нормалью к кривой.
Так как нормаль перпендикулярна касательной, то ее угловой коэффициент
Поэтому уравнение нормали имеет вид (если ).
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
Эквивалентные бесконечно малые функции |
Производные основных элементарных функций |
Таблица производных. Правила дифференцирования. Формулы дифференцирования |
Таблица дифференциалов |