Оглавление:
Эквивалентные бесконечно малые функции
Сравнение бесконечно малых функций
Как известно, сумма, разность и произведение двух б.м.ф. есть функция бесконечно малая. Отношение же двух б.м.ф. может вести себя различным образом: быть конечным числом, быть бесконечно боль той функцией, бесконечно малой или вообще не стремиться ни к ка кому пределу.
Две б.м.ф. сравниваются между собой с помощью их отношения.
Пусть и есть б.м.ф. при , т. е. и .
1. Если , то и называются бесконечно малыми одного порядка.
2. Если , то называется бесконечно малой более высокого порядка, чем .
3. Если , то называется бесконечно малой более низкого порядка, чем .
4. Если не существует, то и называются несравнимыми бесконечно малыми.
Отметим, что таковы же правила сравнения б.м.ф. при , .
Пример №18.1.
Сравнить порядок функций и при .
Решение:
При это б.м.ф. одного порядка, так как
Говорят, что б.м.ф. и одного порядка стремятся к нулю с примерно одинаковой скоростью.
Дополнительные примеры:
Эквивалентные бесконечно малые функции и основные теоремы о них
Среди бесконечно малых функций одного порядка особую роль играют так называемые эквивалентные бесконечно малые.
Если , то и называются эквивалентными бесконечно малыми (при ); это обозначается так: .
Например, при , т. к. при , т. к. .
Теорема 18.1. Предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если каждую или одну из них заменить эквивалентной ей бесконечно малой.
Пусть и при . Тогда
т. е.
Очевидно также, что
Теорема 18.2. Разность двух эквивалентных бесконечно малых функций есть бесконечно малая более высокого порядка, чем каждая из них.
Пусть при . Тогда
аналогично
Справедливо и обратное утверждение-. если разность б.м.ф. и есть бесконечно малая высшего порядка, чем или , то и — эквивалентные бесконечно малые.
Действительно, так как , то , т. е. . Отсюда , т. е. . Аналогично, если , то .
Теорема 18.3. Сумма конечного числа бесконечно малых функций разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.
Докажем теорему для двух функций. Пусть при , причем — б.м.ф. высшего порядка, чем , т. е. . Тогда
Следовательно, при .
Слагаемое, эквивалентное сумме бесконечно малых, называется главной частью этой суммы.
Замена суммы б.м.ф. ее главной частью называется отбрасыванием бесконечно малых высшего порядка.
Пример №18.5.
Найти предел .
Решение:
, поскольку и при .
Применение эквивалентных бесконечно малых функций
Вычисление пределов
Для раскрытия неопределённостей вида часто бывают полезным применять принцип замены бесконечно малых эквивалентными и другие свойства эквивалентных бесконечно малых функций. Как известно, при , при . Приведем еще примеры эквивалентных б.м.ф.
Пример №18.6.
Покажем, что при .
Решение:
Дополнительные примеры:
Приближенные вычисления
Если , то, отбрасывая в равенстве бесконечно малую более высокого порядка, т. е. , получим приближенное равенство .
Оно позволяет выражать одни бесконечно малые через другие. Приведенные выше важнейшие эквивалентности служат источником ряда приближенных формул.
Приведенные формулы справедливы при малых , и они тем точнее, чем меньше .
Например, графики функций и в окрестности точки 0 практически не различимы (см. рис. 114), а кривая в окрестности точки 0 сливается с прямой (рис. 115). На рисунках 116-118 проиллюстрированы некоторые из важнейших эквивалентностей, о которых говорилось выше.
Пример №18.12.
Найти приближенное значение для .
Решение:
. Для сравнения результата но таблице логарифмов находим, что
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны: