Границы числовых множеств

Границы числовых множеств

Границы числовых множеств. Здесь мы используем основную теорему [B] для установления некоторых понятий, которые играют важную роль в современном анализе. При рассмотрении арифметических операций над вещественными числами, они уже необходимы. Представьте себе произвольное бесконечное множество действительных чисел ().Вы можете установить его так, как вам нравится.Между числами 0 и 1 множество корней уравнения$ 1n = y и т. д. X-это тип номера набора, поскольку x>обозначает одно из чисел набора. Сам набор чисел x обозначается^ = {x}. Для рассматриваемого множества { ^ }, если есть такое число Ж, что все идет к xMM, это говорит о том, что множество ограничено выше (числом by).Само число Ж в этом случае является верхней границей множества{q:}.

Таким множеством является, например, множество натуральных чисел, множество всех правильных дробей, множество всех действительных чисел. Людмила Фирмаль

• Например, обычный набор дробей разделяется числом 1 или любым числом, большим 1 выше. Естественные колонны сверху не ограничены. Аналогично, если существует число m, Подобное всем x> m, то они (число m \ ( * ) Все сказанное ниже останется справедливым для конечного множества, но в данном случае это не важно. Само число m называется нижней границей множества{}.Например, натуральные числа разделяются цифрами 1 или меньше. Обычный набор дробей разделяется числом 0 или отрицательным числом. Если нет никаких ограничений на набор выше (ниже), «неуместный номер»-1-°°（-°°）используется в качестве верхней (нижней) границы * символы-| oo и-oo-это «плюс бесконечность» и «минус бесконечность».«»Что касается этих «неуместных» или «бесконечных» цифр、 ОО<^ -) 00 и-ОО а < ^ | ОО.

Каким бы ни было действительное число («конечное»). Если множество ограничено вершиной, т. е. оно имеет конечную верхнюю границу M>и в то же время бесконечное верхнее граничное множество B (например, число больше M, очевидно, также является верхней границей).Из всех верхних пределов минимум называется точным верхним пределом, но это особенно важно. Аналогично, когда множество ограничено до дна, максимум всех нижних границ называется точной нижней границей. Таким образом, точными границами множества всех регулярных дробей являются числа О и 1 соответственно. Возникает вопрос: всегда ли существует точная верхняя (нижняя) граница в наборе, окруженном верхней (нижней) границей?

• На самом деле верхняя (нижняя) граница в этом случае бесконечна, и существование такого минимального (максимального) числа всех верхних (нижних) границ рассматриваемого множества само по себе требует доказательства, поскольку не всегда существует минимум или максимум внутри бесконечного множества чисел. Теорема 5C = (π[сверху (снизу)) если граница установлена, то существует также точный верхний предел (нижний предел)*). Доказательство. Давайте сделаем вывод о верхнем пределе. Рассмотрим следующие 2 случая. 1°.Во-первых, предположим, что он находится внутри числа x в наборе 3?Если существует максимум X, то все числа в множестве имеют неравенство x *.Удовлетворяйте X. То есть X будет верхней границей. * ) Например, не все они являются подходящими фракциями. ** ) .

Эта теорема впервые была выражена только в других терминах-в 1817 году чешским философом и математиком Бернхардом Больцано (1781-1848).Строгое доказательство этого стало возможным только после уточнения понятия действительных чисел. 3 за что? С другой стороны, принадлежит ли X к следующему?;Таким образом, данные неравенства держится на верхней границе выполняется. Поэтому мы заключаем, что X имеет точную верхнюю границу установить 3. 2°.Теперь предположим, что он находится в наборе чисел x 3?Не лучший. Создайте раздел в области всех вещественных чисел следующим образом: для верхнего класса A назначьте»все верхние границы a» набора a нижнему классу A-все другие вещественные числа a.

Множество, связанное с верхом (вниз), также не может быть связано с низом(вверх). таким образом, обычный набор дробей ограничен как верхом, так и низом, а естественный ряд ограничен низом, но не верхом. Людмила Фирмаль

• Этот раздел, Все числа в наборе 3 x? Он классифицируется как класс А. И это неудивительно, потому что ни один из них-по предположению-не является первым. largest. So оба класса A, A ’не пусты. Этот раздел на самом деле является разделом, потому что все действительные числа распределены по классу, и каждое число в классе A больше любого числа в классе L. все числа x>, принадлежащие классу A, не превышают этого «граничного» числа P. то есть, поскольку p выступает в качестве верхней границы для x, оно само принадлежит классу A и минимально there. So является ли p как минимум всех верхних пределов желаемым точным верхним пределом множества 3? = {*}. Вторая половина теоремы(относительно существования точной нижней границы) доказывается точно так же. Если м *есть точная верхняя граница.

Смотрите также:

Решение задач по математическому анализу

Представление вещественного числа бесконечной десятичной дробью.	Определение и свойства суммы вещественных чисел.
Непрерывность множества вещественных чисел.	Симметричные числа. Абсолютная величина.