Оглавление:
Теорема Коши. Первообразная и неопределенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница
Теорема 75.1 (Коши). Если функция 
аналитична в односвязной области 
, то интеграл от этой функции по любому замкнутому контуру 
, лежащему в области равен нулю, т. е. 
.
Докажем теорему, предполагая непрерывность производной 
(это упрощает доказательство). По формуле (75.2) имеем:
В силу аналитичности 
и непрерывности в односвязной области , функции 
и 
непрерывны и дифференцируемы в этой области и удовлетворяют условиям Эйлера-Даламбера: 
и 
. Эти условия означают равенство нулю интегралов 
и 
(см. теорему 56.3). Следовательно, 
.
Теорема Коши допускает распространение на случай многосвязной области.
Рассмотрим для определенности трехсвязную область , ограниченную внешним контуром и внутренними контурами 
и 
. Выберем положительное направление обхода контуров: при обходе область остается слева (см. рис. 289).
Пусть функция аналитична в области и на контурах , и (т. е. в замкнутой области 
; функция называется аналитической в замкнутой области , если она аналитична в некоторой области, содержащей внутри себя область и ее границу ).
Проведя два разреза (две дуги) 
и 
области (см. рис. 289), получим новую односвязную область 
, ограниченную замкнутым ориентированным контуром 
, состоящим из контуров , , и разрезов и : 
. По теореме Коши для односвязной области 
, но
т. к. каждый из разрезов (дуг) и при интегрировании проходится дважды в противоположных направлениях. Поэтому получаем:
т.e. интеграл от аналитической в замкнутой многосвязной области функции по границе области , проходимой в положительном направлении, равен нулю.
Замечание. Изменив направление обхода внутренних контуров и , будем иметь 
, где все контуры (, и ) обходятся в одном направлении: против часовой стрелки (или по часовой стрелке). В частности, если аналитична в двусвязной области, ограниченной контурами и 
и на самих этих контурах (см. рис. 290), то 
, т. e. «интеграл от функции по внешнему контуру равен интегралу от функции по внутреннему контуру » (контуры и обходят в одном направлении).
Следствие 75.1. Если — аналитическая функция в односвязной области , то интеграл от нее не зависит от формы пути интегрирования, а зависит лишь от начальной точки 
и конечной точки 
пути интегрирования.
Действительно, пусть и — две кривые в области , соединяющие точки и (рис. 291).
По теореме Коши 
, т. е. 
, или 
, откуда 
.
В таких случаях, когда интеграл зависит только от начальной точки и конечной точки пути интегрирования, пользуются обозначением 
. Если здесь зафиксировать точку , а точку изменять, то 
будет функцией от . Обозначим эту функцию через 
. Можно доказать, что если функция аналитична в односвязной области , то функция 
также аналитична в , причем
Функция называется первообразной для функции в области , если 
.
Можно показать, что если есть некоторая первообразная для , то совокупность всех первообразных определяется формулой 
, где 
.
Совокупность всех первообразных функций называется неопределенным интегралом от функции и обозначается символом 
, т. е.
, где .
Пусть функция 
есть первообразная функция для . Следовательно, 
. Положив здесь 
, получим 
(контур замкнется, интеграл равен нулю). Отсюда 
, а значит,
Полученная формула называется формулой Ньютона Лейбница.
Интегралы от элементарных функций комплексного переменного в области их аналитичности вычисляются с помощью тех же формул и методов, что и в действительном анализе.
Так, 
и т.д.
Пример №75.2.
Вычислить интегралы: 
, где есть окружность радиуса 
с центром в точке , обходимая против часовой стрелки (см. рис. 292).
Решение:
а) Теорема Коши неприменима, т.к. функция 
не аналитична в точке . Параметрические уравнения окружности есть 
, где 
. Следовательно,
Таким образом, мы получили, что комплексно-параметрическое уравнение данной окружности есть 
, . Поэтому по формуле (75.4) получим:
б) При 
имеем:
Итак,
, 
— целое, .
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
| Геометрический смысл модуля и аргумента производной |
| Интегрирование функции комплексного переменного |
| Интеграл Коши. Интегральная формула Коши |
| Нули аналитической функции |
