Оглавление:
Теорема Коши. Первообразная и неопределенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница
Теорема 75.1 (Коши). Если функция аналитична в односвязной области
, то интеграл от этой функции по любому замкнутому контуру
, лежащему в области
равен нулю, т. е.
.
Докажем теорему, предполагая непрерывность производной (это упрощает доказательство). По формуле (75.2) имеем:
![Интегральная теорема Коши](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-54441.png)
В силу аналитичности и непрерывности
в односвязной области
, функции
и
непрерывны и дифференцируемы в этой области и удовлетворяют условиям Эйлера-Даламбера:
и
. Эти условия означают равенство нулю интегралов
и
(см. теорему 56.3). Следовательно,
.
Теорема Коши допускает распространение на случай многосвязной области.
Рассмотрим для определенности трехсвязную область , ограниченную внешним контуром
и внутренними контурами
и
. Выберем положительное направление обхода контуров: при обходе область
остается слева (см. рис. 289).
Пусть функция аналитична в области
и на контурах
,
и
(т. е. в замкнутой области
; функция называется аналитической в замкнутой области
, если она аналитична в некоторой области, содержащей внутри себя область
и ее границу
).
Проведя два разреза (две дуги) и
области
(см. рис. 289), получим новую односвязную область
, ограниченную замкнутым ориентированным контуром
, состоящим из контуров
,
,
и разрезов
и
:
. По теореме Коши для односвязной области
, но
![Интегральная теорема Коши](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-54455.png)
т. к. каждый из разрезов (дуг) и
при интегрировании проходится дважды в противоположных направлениях. Поэтому получаем:
![Интегральная теорема Коши](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-54456.png)
т.e. интеграл от аналитической в замкнутой многосвязной области функции
по границе области
, проходимой в положительном направлении, равен нулю.
![Интегральная теорема Коши](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-54457.png)
Замечание. Изменив направление обхода внутренних контуров и
, будем иметь
, где все контуры (
,
и
) обходятся в одном направлении: против часовой стрелки (или по часовой стрелке). В частности, если
аналитична в двусвязной области, ограниченной контурами
и
и на самих этих контурах (см. рис. 290), то
, т. e. «интеграл от функции
по внешнему контуру
равен интегралу от функции
по внутреннему контуру
» (контуры
и
обходят в одном направлении).
Следствие 75.1. Если — аналитическая функция в односвязной области
, то интеграл от нее не зависит от формы пути интегрирования, а зависит лишь от начальной точки
и конечной точки
пути интегрирования.
Действительно, пусть и
— две кривые в области
, соединяющие точки
и
(рис. 291).
По теореме Коши , т. е.
, или
, откуда
.
![Интегральная теорема Коши](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-54464.png)
В таких случаях, когда интеграл зависит только от начальной точки и конечной точки пути интегрирования, пользуются обозначением . Если здесь зафиксировать точку
, а точку
изменять, то
будет функцией от
. Обозначим эту функцию через
. Можно доказать, что если функция
аналитична в односвязной области
, то функция
также аналитична в
, причем
![Интегральная теорема Коши](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-54469.png)
Функция называется первообразной для функции
в области
, если
.
Можно показать, что если есть некоторая первообразная для
, то совокупность всех первообразных
определяется формулой
, где
.
Совокупность всех первообразных функций называется неопределенным интегралом от функции
и обозначается символом
, т. е.
, где
.
Пусть функция есть первообразная функция для
. Следовательно,
. Положив здесь
, получим
(контур замкнется, интеграл равен нулю). Отсюда
, а значит,
![Интегральная теорема Коши](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-54479.png)
Полученная формула называется формулой Ньютона Лейбница.
Интегралы от элементарных функций комплексного переменного в области их аналитичности вычисляются с помощью тех же формул и методов, что и в действительном анализе.
Так,
и т.д.
Пример №75.2.
Вычислить интегралы:
, где
есть окружность радиуса
с центром в точке
, обходимая против часовой стрелки (см. рис. 292).
![Интегральная теорема Коши](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-54489.png)
Решение:
а) Теорема Коши неприменима, т.к. функция не аналитична в точке
. Параметрические уравнения окружности
есть
, где
. Следовательно,
![Интегральная теорема Коши](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-54490.png)
Таким образом, мы получили, что комплексно-параметрическое уравнение данной окружности есть ,
. Поэтому по формуле (75.4) получим:
![Интегральная теорема Коши](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-54492.png)
б) При имеем:
![Интегральная теорема Коши](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-54494.png)
Итак,
,
— целое,
.
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
Геометрический смысл модуля и аргумента производной |
Интегрирование функции комплексного переменного |
Интеграл Коши. Интегральная формула Коши |
Нули аналитической функции |