Оглавление:
Интегрирование простейших рациональных дробей
Найдем интегралы от простейших рациональных дробей.
1. (формула (2) таблицы интегралов);
2. (формула (1));
3. Рассмотрим интеграл .
Выделив в знаменателе полный квадрат, получим:
![Интегрирование рациональных дробей](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-27089.png)
причем . Сделаем подстановку
. Тогда
,
. Положим
. Следовательно, используя формулы (2) и (15) таблицы интегралов, получаем
![Интегрирование рациональных дробей](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-27269.png)
т. e., возвращаясь к переменной ,
![Интегрирование рациональных дробей](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-27274.png)
Пример №31.5.
Найти .
Решение:
. Сделаем подстановку
. Тогда
и
![Интегрирование рациональных дробей](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-27295.png)
4. Вычисление интеграла вида .
Данный интеграл подстановкой сводится к сумме двух интегралов:
![Интегрирование рациональных дробей](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-27299.png)
Первый интеграл легко вычисляется:
![Интегрирование рациональных дробей](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-27300.png)
Вычислим второй интеграл:
![Интегрирование рациональных дробей](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-27302.png)
К последнему интегралу применим интегрирование по частям. Положим
![Интегрирование рациональных дробей](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-27304.png)
тогда
![Интегрирование рациональных дробей](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-27306.png)
Подставляя найденный интеграл в равенство (31.8), получаем
![Интегрирование рациональных дробей](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-27308.png)
т. е.
![Интегрирование рациональных дробей](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-27311.png)
Полученная формула дает возможность найти интеграл для любого натурального числа
.
Дополнительный пример №31.6.
Интегрирование рациональных дробей
Рассмотренный в пунктах 31.1-31.2 материал позволяет сформулировать общее правило интегрирования рациональных дробей.
- Если дробь неправильна, то представить ее в виде суммы многочлена и правильной дроби;
- Разложив знаменатель правильной рациональной дроби на множители, представить ее в виде суммы простейших рациональных дробей;
- Проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших дробей.
Пример №31.7.
Найти интеграл .
Решение:
Под знаком интеграла неправильная дробь; выделим ее целую часть путем деления числителя на знаменатель:
![Интегрирование рациональных дробей](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-27324.png)
Получаем:
![Интегрирование рациональных дробей](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-27325.png)
Разложим правильную рациональную дробь на простейшие дроби:
![Интегрирование рациональных дробей](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-27329.png)
т. е.
![Интегрирование рациональных дробей](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-27330.png)
Отсюда следует, что
![Интегрирование рациональных дробей](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-27331.png)
Находим: . Стало быть,
![Интегрирование рациональных дробей](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-27336.png)
и
![Интегрирование рациональных дробей](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-27337.png)
Интегрируем полученное равенство:
![Интегрирование рациональных дробей](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-27340.png)
Обозначим , тогда
и
. Таким образом,
![Интегрирование рациональных дробей](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-27352.png)
Следовательно,
![Интегрирование рациональных дробей](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-27355.png)
Отметим, что любая рациональная функция интегрируется в элементарных функциях.
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
Понятия о рациональных функциях |
Дробно-рациональная функция |
Универсальная тригонометрическая подстановка |
Интегралы типа sin m x cos n x dx |