Исследование сходимости интегралов

Исследование сходимости интегралов

Исследование сходимости интегралов. Докажем достаточные критерии сходимости интегралов, обычно называемые критериями Дирихле. Теорема 5 (критерий Дирихле). Позвольте мне. 1) функция / непрерывна、 Тогда Интеграл 2) Функция y непрерывна дифференцируема、 Он сходится. Доказательство. Прежде всего, благодаря предположению, следует отметить, что функция/・•непрерывна, поэтому она может быть интегрируемой по Риману на любом интервале[a, b],+ oo. Поэтому имеет смысл говорить о неправильном Интеграле (33.34). Если мы частично интегрируем произведение f (x)§(x) интервала[a, b], то получим его. B + y + cx исследует поведение обоих терминов справа. Из-за ограниченности функции P (см. Условие 1 теоремы） 44 = $π| / ^(х)| + ОО, следовательно,|§(б) п(б)\ <мг(б).

По условию 3 теоремы,@ m @(b) P(b)= 0. Людмила Фирмаль

• Кроме того,§из монотонного сокращения функции:^■ ’ (x)^ 0 это x ^ a и, таким образом, Из-за условий 2 и 3 теоремы,§(x) 0, в частности Таким образом, Интеграл$ [P (x)§ ’ (x)| yx ограничен Все b a, следовательно, Интеграл Абсолютно, а потому просто сходятся. То есть существует конечный предел. В правой части уравнения(33.35) члены b + yo имеют конечные пределы, поэтому предел в левой части k + yo конечен, что означает сходимость интегралов (33.34). Тс Пример 1. Функция f(x)= $ wx имеет ограниченную производную P(x) = cocx, которая имеет тенденцию монотонно уменьшаться с непрерывной дифференцируемой функцией§(x) −1 / x » 0 и нулем как x-y + cu. Все условия теоремы 5 выполнены, поэтому Интеграл (33.36) будет сходиться.

2.Однако следует иметь в виду, что критерий Дирихле обеспечивает лишь необходимые условия сходимости интеграла. Поэтому вы не всегда можете использовать его для решения проблемы конвергентной интеграции. Например, посмотрите на сходимость интегралов /(x)= 3x и P (x)-попробуйте применить условие Дирихле, установив■a 1■y. очевидно,^(X) YO как X-Y + OO. Ты найдешь его. Дериват. Из этого ясно, что в случае cc 1 функция§(x) сама по себе не является монотонной редукционной функцией, так как эта производная как x-y + c меняет знак бесконечно много раз. Поэтому в СС 1 Критерий Дирихле не может быть применен таким образом для уточнения задачи сходимости интеграла(33.37).в этом случае вполне естественно прибегнуть к методу выбора основных частей. Используя функцию расширения(1-() −1, −1 D 1、 Выражение Тейлора (см. раздел 13.3), ху + ко Все сходятся в соответствии с критерием Дирихле 0.

• Неотъемлемый 2а 1, которые сходятся в Фактически из Формулы (33.33) имеет смысл говорить об Интеграле (13.40), так как функция o (1 / x2a) указанной формулы непрерывна с x при x> = 1, cc 0.Особенности 2 ^ a и » 2 ^ 2a-B°(1 / x2a) не отрицательны в некоторой окрестности + co и x » эквивалентно+ oo. Поэтому Интеграл (33.40) сходится и расходится при одном и том же значении параметра CC. И Интеграл(см. результаты§ 33.3 теоремы 1). Таким образом, в случае cc |-все интегралы (33.39) и (33.40) сходятся, поэтому по (33.38) Интеграл (33.37) также сходится. При 0 cc = ^ y Интеграл (33.39) сходится и Интеграл (33.40） Поскольку он расходится, Интеграл (33.37) расходится. заметим, что если a> 0, то Интеграл (33.37) diverges. In дело в том, что в этом случае знаменатель подынтегральной функции исчезает много раз на неопределенное время.

Более того, в случае x » 8mx0 = 0, согласно формуле функции Xy-81PX-Тейлора, вид окрестности точки x0 (почему?)Некоторое натуральное число, acp (xo)^ = 0. Поскольку это 8×0 = ^ ^Φ0, существует сингулярность, которая не может быть интегрирована с каждым подобием x0. Исправлено ss » 0 каждая функция должна быть отмечена эквивалент x + oo, то есть Однако, если e (x)= 1-1 как x * + co, однако, 0 cx ^、 Интеграл (33.37) расходится с первым, а Интеграл (33.36) сходится со вторым. 3.Исследуйте Интеграл * f * СО Для сходимости и абсолютной сходимости. С ^ x + Oo и как Интеграл\ 1 [ax Дивергенция (см. (33.32)), то Интеграл расходится.

Поэтому, если вы замените подынтегральное выражение эквивалентным, вы можете изменить сходимость интеграла (если, конечно, интеграл не сходится абсолютно). Людмила Фирмаль

• То есть, Интеграл(33.41) абсолютно не сходится. вы можете легко проверить О Р Кроме того, в качестве окрестности, участвующей в определении символа O (см. Определение от 8.2 до 1), здесь мы можем взять интервал (-1,1). Существуют константы типа O Кроме того, уравнение y =(33.42) позволяет интегралу (33.41) быть выраженным как: Поскольку Интеграл^сходится(например, по критериям Дирихле), а Интеграл^ 0 сходится абсолютно, и Интеграл (33.41) сходится. Упражнение. Для сходимости и абсолютной сходимости, рассмотрим следующие интегралы.

Смотрите также:

Предмет математический анализ

Критерий Коши сходимости несобственных интегралов.	Асимптотическое поведение интегралов с переменными пределами интегрирования.
Абсолютно сходящиеся интегралы.	Определение ряда и его сходимость.