Оглавление:
Коэффициент прохождения в физике
- Коэффициент прохождения. Рассмотрим движение частиц в поле, изображенном на рисунке. 5 Тип: U (x) монотонно увеличивается от одного постоянного предела (U = 0, если x = ►-oc) до другого предела (U = Uq, если x = + oc).
Согласно классической механике, частицы с энергией E <Uq, Если вы переместите такое поле слева направо и достигнете потенциальной стены, оно отразится от нее и начнет двигаться в противоположном направлении. Если E> C / o, частицы продолжают двигаться В том же направлении на пониженной скорости.
но частицы Отскочить от потенциальной стены Людмила Фирмаль
В квантовом Происходит новое явление механики E> C / O, . Вероятность отражения Как правило, следующие цифры х сразу. Переместить частицы влево Это верно, большой позитив значение x, волновая функция должна описывать частицу
Пройдите через стену и двигайтесь в положительном направлении должен быть осью X, то есть асимптотическим как x-yx: φ ~ Aegk2X, & 2 = ^ y / 2m (E-C / o) (25,1) (.A- константа). Я нашел решение уравнения Шредингера, Асимптот рассчитывается при достижении этого предела Статическое выражение в виде x-) ►—.
- Это линейная комбинация Состояние двух решений уравнения свободного движения, а именно как как x-y-oo: φ ~ elklX + Be ~ lklX, k = ~ 2 мЭ (25,2) Первый член соответствует частице, падающей на стену (У нас есть коэффициент Коэффициент этого термина равен 1); второе лицо Показывает частицы, отраженные от стены.
Плотность потока Он пропорционален k \ для падающих волн и k \ B \ 2 для отраженных волн. Прошлое: k2 \ A \ 2. Определить коэффициент передачи D Частицы как отношение плотности магнитного потока прошедшей волны Плотность падающего потока: D = — \ A \ 2. (25,3) к 1
Если частица движется слева направо с энергией Людмила Фирмаль
Аналогично коэффициент R отражения может быть определен следующим образом: Отношение плотности отраженного потока к падению. по-видимому Но R = 1-D: R = \ B \ 2 = 1- \ A \ 2 (25,4) К 1 (Это соотношение A и B выполняется автоматически постоянная сила потока вдоль оси х). E <C / o, A> 2 чисто мнимый, а волновая функция экспоненциальная х- + пчела хаят.
Отраженный поток равен падающему потоку. Полное отражение частиц от потенциальных стен Я забочусь Однако в этом случае мы подчеркиваем, что вероятности также найдены. Частицы в области E <U еще не равны нулю. Тем не менее, он быстро распадается с увеличением х. Общий случай любого устойчивого состояния (Энергия E> Uq)
Асимптотическая форма волновой функции Для x —Y —oo, для x-) ► + oo — сумма Две волны, распространяющиеся по обе стороны от оси x: φ = A1eiklX + Bie ~ iklX как x-> -oo, ■ и с (25-5) φ = A ^ e1 2X + B2e 1 2X как x-V + oo. Поскольку оба эти уравнения являются асимптотическими Та же форма линейного разложения Уравнение между коэффициентами Ai, B1 и A2, B2
Существует линейная связь. A2 = aAi + / 3Bi, ce, / 3- В зависимости от конкретного, все еще (как правило, сложный) Поля U (x). Аналогичные отношения В2 Затем опишите на основе соображений, связанных с веществом Характеристики уравнения Шредингера. Благодаря последнему, Это уравнение Шредингера имеет решение, а затем комплексное число
Однако сопряженная функция φ * является решением того же уравнения. Асимптотический вид φ * = A \ e ~ iklX + B (eiklX как x-> ooo, φ * = A * 2e ~ ik2X + B% eik2X как x »» + oo Только постоянный коэффициент отличается от (25,5) Следовательно, Bx = aB \ + f3A \ или B2 = a * B \ + j3 * A \. Следовательно, коэффициенты (25.5) связаны друг с другом. Форма отношений A2 = aAg + PBB B2 = Ax + a * Br. (25,6)
Постоянные условия потока вдоль оси x приводят к коэффициенту Соотношение к соотношению (25,5) ki (\ Ai \ 2- \ Bi \ 2) = & 2 (| A2 | 2- | -B2 | 2) — Здесь, если A2, B2, Ai, B \ выражены согласно (25.6), (25,7) Используя соотношение (25.6), коэффициент равен Коэффициент отражения одинаков (для данной энергии E> Uq) Для частиц, движущихся в положительном или отрицательном направлении оси X.
На самом деле, первый случай Настройки функций (25,5) Ј> 2 = 0; также B \ / A \ = — / 3 * / ce *. Во втором случае установите A \ -0, затем установите A2 / B2 = / 3 / ce *. соответствующий Подходящий коэффициент отражения Ri = по О! я? 2 = 2 B2 Где R \ = я? 2 Величины B \ / A \ = — / 3 * / ce * и A2 / B2 = / 3 / ce * естественно можно назвать амплитудами отражения положительного и отрицательного движений соответственно.
Эти амплитуды имеют одинаковое абсолютное значение, но могут иметь разные фазы Resident. Задача 1. Определить коэффициент отражения частиц от прямоугольника Потенциальная стенка (рис. 6), энергия частиц E> 17 °. Решения. Над областью х> 0 волна Формат функции (25.1) и область х <0- (25.2).
Константа An определяется из условия Непрерывность f и dip / dx при x = 0: 1 + B = A, k1 (1-B) = k2A, -х где A = И 0 U (х) Рис. 6 Коэффициент отражения (25,4) х) ‘k \ -k2 2к \ R = к \ к2 ки-k2 V1 ~ P2 Pi + P 2 B = к \ -к2 ки-k2 Когда E = Uo (k2 = 0), R единичен, а когда E- »оо, R = (Uo / 4E) 2. 2. Определить коэффициент, по которому частицы проходят прямоугольник Потенциальный барьер (рисунок 7).
Решение: переместите E> Uo и падающие частицы слева направо Далее о волновых функциях в различных областях выражения как φ = e «1 * + Ae ~ x <0 ikix, Jk2x e ~ ik2x f = Be f = сейкис Если 0 <x <a, х> а (Со стороны x> a должна быть только переданная волна, распространяющаяся в положительном направлении оси x).
Константы A, B, B ‘, C определяются из непрерывного условия ^ и U (x). Точка х = 0, а. Оценка суждения Это может быть выражено как D = ki \ C \ 2 / ki = \ C \ 2. Расчет -UO Приводит к результатам: D = 4 к \ к \ (K \ -k2) 2 sin2 ak2 + kk \ k \ ’a PT-T 7 ^ TT 7 L-7 и o / c 2 FIG-7 являются чисто мнимыми.
В соответствии с этим Соответствующее выражение для D получается заменой k2 на i> c2. Где h> c2 = = у / 2м (U0-E): n = ________ 4fc? ^ ________ (Ki + X2) 2 sh2 ax2 + 4 fcfx2 3. Определить коэффициент отражения частицы от потенциала Стена определяется по формуле U (x) = U0 / (l + e-ax) (См. Рисунок 5); энергия частиц E> IJo. Решения. Уравнение Шредингера гласит: * H + ^ (e- ^ =) φ = o дх к должны найти решение вида х + оо φ = const .eg / С2 †.
Введите новую переменную г-х х Ј = -е (Запустите значение от -su до 0), найдите решение в форме Ф = Гк2 / аЫ (0, Где w (Ј) равно Ј- »0 (т.е. х Получить гипергеометрические уравнения оо). Для ш (Ј) Ј (1-Ј) w «+ (l — kL (1-Ј) w’ + \ {k l-k \) w = 0 \ a J a Решение гипергеометрической функции w = F- (кг-k2), — (fci + fc2), —f c a + l, Ј а (Не описывает некоторые факторы). Эта функция равна 1, потому что の の -> 0 То есть условие выполнено.
Асимптотическая форма функции φ при φ -> — oo (т. Е. X-y-oo) равна 1) -ik, 2 / ol [CrN) r (k2-ki) / a + C2Ы) i (k1 + k2) / al_ = (-L) ik * / a [Cieiklx + С2е ~ Ш1Х], где C1 = с2 = Y (- (2i / a) k \) Y (- (2i / a) k2 + 1) r (- (i / a) (fci + fc2)) r (- (i / a) (fci + fe) +1) ‘ r ((2i / a) fci) r (- (2i / a) fc2 + 1) T ((i / a) (k \ -fc2)) r ((t / a) (fci-fc2) +1) ‘ Требуемый коэффициент отражения R = | C2 / C i |
Рассчитать с помощью Известная формула G (x) G (1-x) = Приводит к результатам: R = (sh [(7r / a) (fci-fc2)]] 2 1 sh [(7r / a) (fei + fe2)] j Когда E = o7o (A? 2 = 0), R единичен, а когда E-> 0 °, Ноль в формуле R = {^ I) / На пути к пределу классическая механика R Далее следует ноль. 4. Определить коэффициент передачи Определить частицы, которые проходят через потенциальные барьеры официальный U (х) U (x) = Uo о Рисование (Рисунок 8); энергия частиц E <Uo.
Решение: уравнение Шредингера для этой задачи Кроме того, изменяя символ Uo, пример, обсуждаемый в вопросе 5 раздела 23, Теперь рассмотрим положительный Е. Получите решение таким же образом где f = (1-f) Ah = й ах ик ■ ^ F (_i ± _8j_iA + 8 + ljJ ± + ltLzl (1) k = \ V2 ^ E, b = — (- 1 + J l-> Tyr ft 2 \ V в кормовой части Это решение х Волновая функция a-o 2e включает только прошедшую волну E).
Асимптотическая форма волновой функции как -o o (Ј-> • -1) Преобразуя гипергеометрическую функцию, используя Формула (е.7): -ikx r (z & / o;) r (lik j a) t ~ x G (-a) G (1 + c) T (-gk / a) T (1-ik / a) T (-ik / a-s) T (-ik / a + s + 1) (2) Если рассчитать квадратный коэффициент из отношения коэффициентов этой функции, вы получите следующее уравнение для коэффициента передачи D = 1-R: 8mUo D = ———————- 7 —— 1 \ PRI -T2-2- < , 2 ^, 2 (^ / 1 8mU0 \ n a s h —— h cos-l / 1- 2 \ / P2a2 SH2 От 2 до 7G н ол 8м U 0 D = ——————— ——-. -2> В случае 1. sh2 ^ + ch2 ^, / 8t ^ -L
Это верно Начало этих формул также применимо, когда Uq <0. Частицы не проходят через потенциальный барьер, но проходят через потенциальный Пит. Интересно, что в этом случае D + 1, если 1 + (8m \ Uo \ / H2a2) = (2n + I) 2 Т.е. пройти на определенную глубину скважины \ Уо \ Частицы не отражаются. Это уже ясно из уравнения (2). Обычно нет положительного слагаемого с e до rx. 5.
Определить закон потери коэффициента передачи E-> 0, предполагая, что потенциальная энергия U (x) быстро уменьшается с расстоянием \ x \ a, где a — характерный размер области взаимодействия. Решение: в диапазоне расстояний k \ x \ 1 энергию можно игнорировать E уравнения Шредингера.
Кроме того, если \ x \ a вы можете игнорировать И потенциальная энергия и уравнение _ & _ # Ф = 0 2t dx2 Решение φ = a \ + b \ x, x <0, φ = a2 + b2x, x> 0. (1) Решение уравнения на расстоянии \ x \ ~ a, ai, би и а2, б2. Эта связь является линейной и имеет форму ai = pa2 + r2, 6i = z ^ a2 + rb2. (2) Коэффициенты p, µ и m являются действительными числами и не зависят от энергии. гиа больше не входит в формулу х).
Решение (1) является первым Два условия расширения функции (25.1), (25.2) степень х, почему ai = 1 + B, b \ = r & (1-B), a2 = A, b2 = rkA Подставляя эти уравнения в (2) и решая уравнение для A, Найдите маленькое k: A x 2ik / v, откуда 4 к2 tu2 Следовательно, коэффициент передачи Энергия частиц. В примере, описанном в Задачах 2 и 4, этот Конечно, есть общие отношения.
Смотрите также:
| Линейный осциллятор в физике | Момент импульса в физике |
| Движение в однородном поле | Собственные значения момента |
