Криволинейные координаты

Оглавление:

Криволинейные координаты

Криволинейные координаты. Ее можно считать не только отображением, но и переходом от одной системы координат к другой, в общем случае кривой. Сначала мы опишем понятие криволинейных систем координат. Пусть C-открытое множество на плоскости, и каждая точка A4 =(x, y)> 0.Поэтому каждой упорядоченной паре (x, y) числа, являющегося координатами точки M в выбранной декартовой системе, присваивается пара чисел. таким образом, что (u, v) различные пары (u, gd) и (u2, y2) соответствуют различным точкам Mg и M2.In в этом случае говорят, что система координат u, y задается множеством O. In кроме того, если точка M соответствует паре (u, y), то опишите ее как M =(u, y).Поскольку каждая пара (u, y) является функцией точки M = 0, то ее элементы u и V также являются функциями точки M’ соответственно. u (M), y = y (M), или то же самое, декартовы координаты. (46.48)） у = U(Х, У), 0 = 0(х, г). И наоборот, каждой паре (u, y) из множества рассматриваемых пар соответствует точка MeO.

Из них координатная линия в окрестности каждой точки O является непрерывно дифференцируемой кривой. Людмила Фирмаль

То есть точка M является функцией пар (u, o). M = M (u, y).таким образом, его декартовы координаты x и y также являются функциями указанной пары(u, o).То есть формула, которая определяет карту на другой стороне карты (46.48) (46.47), является действительной. Множество точек, удовлетворяющих условию u (x, y)= u0, и, следовательно, o (x, y)= y » (x, y) e 0, где u0 и y0-некоторые фиксированные константы, называется координатными линиями системы координат u, y. Используя формулу (46.47), координатные линии можно записать в виде: х = х(ц0, г), г = г(ц0, г), (46.49） х = х(у, У0), г = г(у, У0). (46.50） В каждой форме Для декартовых координат координатная линия является прямой линией; в общем случае некоторые кривые определяются представлением (46.49) и (49.50).Это объясняет название «криволинейные координаты» (рис.186). 46.3. Криволинейные координаты Сто восемьдесят пять Предположим, что функция (46.47) удовлетворяет всем условиям, при которых выражение (46.32) изменения переменной в Интеграле играет с O, в частности, они непрерывны дифференцируемы, а Якобиан^не равен нулю В O.

В этом случае мы исследуем значение якобианского модуля. измените значения u0, a и y0. Да 44ο=(«, По, по), Call набор г-0 х Координаты (кривые) рис]§} Параллелограмм. Множество G открыто(почему?), И его границы io и io + Ai V ^) ^ V АО Д(х, Г)Д(U, V с)） Ли де= Д(х, г） д(U, V с)） Щ-|-АиVоЧ-Аа Укрытие$) До Д(х, г） D(а «в»)） М Ай да, Л4 например. Представляет собой кусочно-гладкий контур (состоящий из кривых вида x = x (a0, v), y = y (u0, a)).например, a0a и A0-ДаYes). таким образом, γ является 4-делимой областью. Вычислите его площадь(см. Рисунок 186).Применяя формулу для замены переменных интеграла и теоремы о среднем Интеграле (см.§ 44.6), мы видим: Из-за непрерывной Дифференцируемости функции(46.47） Д(х, г） д(И) М Д(х, Г) И Д(У, Х)\ М0 д(Х, Y) и 3(У, в)\ М0 Куда? Иш е =0.И так оно и есть.、 В Do2_o Дело не только в еде, но и в самой еде. (46.51)） е Формула (46.51) показывает, что якобиев модуль в точках (о0, a0) является коэффициентом основной части площади координатного параллелограмма с точками (0, 0, a0) для произведения a в качестве вершин. D » 2 + Yes2 >-0.

Эта замена фактически часто используется при вычислении Якобиана преобразования из криволинейных координат в декартовы координаты. Людмила Фирмаль

Показывает $ 46.Переменная вариация кратных интегралов Сто восемьдесят шестьЭто пример полярного R, f. зафиксируем значения r, r + Ar, φ, cp + Df и рассмотрим координатный параллелограмм Γ, образованный координатными линиями r, r + Dg, φ, φ+ Dp(рис. 187).Длина его 2-х сторон будет равна Dg и R Df соответственно. Если вычислить площадь этого параллелограмма как обычный прямоугольник、 РГ? «Р ДГ ДФ. Таким образом, естественно ожидать d (x, y), так как коэффициент y произведения DGDp был найден равным r. Что c = г. На самом деле (См. Пример В разделе 46.2.)Это связано с неправильным расчетом площади Γ, в результате чего погрешность порядка меньше произведения га и ГА + + ф2 2-0.In факт, Г рассчитывается как разница в площади 2 секторов. РГ = н(г + ДГ) 2-4М-У2 = Р Ар ДФ + почтовый индекс dg2 ДФ.

Геометрический смысл модуля якобиана в двумерном случае.	Замена переменных в n-кратном интеграле.
Замена переменных в кратном интеграле.	Криволинейные интегралы первого рода.