Квадратичные формы

Квадратичные формы

• Вторичная форма Пусть A (x, y) — симметричная билинейная форма, определяемая как Линейное пространство L Определение 1. Вторичная форма называется числом Функция A (x, x) одного векторного аргумента x должна быть получена Из билинейной формы A (x, y) с x = y.

• Симметричная билинейная форма A (x, y) называется полюсом k. Вторичная форма A (x, x). Полярная билинейная форма A (x, y) и квадратичная форма A (x, x) связаны следующим соотношением: A (x, y) = — [A (x + y, x + y) -A (x, x) -A (y, y)], Это вытекает из очевидного равенства A (x + y, x + y) = A (x, x) + A (x, y) + A (y, x) + A (y, y) И симметрия формы A (x, y).

Симметричный в конечномерном линейном пространстве L Билинейная билинейная форма A (x, y) от полюса до квадрата я A (х, х). Людмила Фирмаль

Далее предположим, что L имеет базис e = (ei, B2, …, en). Согласно теореме 7.1 форма A (x, y) имеет вид де G.3) N A (k, y) = Y, иртиб, G-3) Где & и T] j — координаты, основанные на e векторов x и y соответственно. в Это связано с симметрией A (x, y) CLij = CLji G.11) (См. Примечание 2 и пункт 2 в предыдущем пункте). G.3) Для x = y (то есть r] j =? J) оно становится Задайте конечномерную квадратичную форму A (x, x)

Пространство L с заданным основанием e: Матрица а ^ называется матрицей квадратичной формы А (х, х). Данный фонд e. Согласно G.11) матрица (a ^) является симметричной. по-видимому Каждая симметричная матрица (a ^) соответствует соотношению G.12) Вторичная форма A (x, x) и G.12) представлены A (x, x) в пространстве L с заданным основанием e Часть 3 предыдущего пункта, пункт 2).

Обратите внимание на квадратичную матрицу при переходе на новый База преобразуется в соответствии с уравнением G.7). Следовательно, ранг этой матрицы Он не меняется, когда вы переходите на новый фонд. Обычно ранг матрицы квадратичной формы A (x, x) равен Вторичная форма ранга. Если ранги квадратичной матрицы равны Пространство L, форма называется невырожденной Чай вырожден.

• В дальнейшем будут использоваться следующие термины: Определение 2. Вторичная форма A (x, x) называется следующим образом: 1) Определяется как положительный (отрицательный) (если есть) Ненулевой х A (x, x)> 0 (A (x, x) <0) (Эта форма также называется определением знака)] 2) Если x и y существуют, поочередно A (x, x)> 0, A (y, y) <0; 3) Полупостоянное значение для всех х A (x, x) ^ 0 или A (x, x) ^ 0, Но есть ненулевой вектор х. A (x, x) = 0.

В дальнейшем покажу признаки, чтобы судить Форма A (x, x) принадлежит к одному из указанных типов. Обратите внимание на следующее важное утверждение: Если A (x, y) билинейный, Положительно определенная квадратичная форма A (x, x) A (x, y) удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения Тор в евклидовом пространстве.

Четыре аксиомы для скалярных произведений (см. Раздел 1) §1 Глава 4). Людмила Фирмаль

Если число называется скалярным произведением векторов х и у, Когда обозначено A (x, y), эти аксиомы записываются как МЕТОД: 1 °) A (x, y) = A (y, x). 2 °) A (x + z, y) = A (x, y) + A (z, y). 3 °) A (Ax, y) = AA (x, y). 4 °) i (x, x) Hni (x, x)> 0 для xΦ0. Билинейная форма A (x, y), поэтому полярная квадратичная форма Поскольку A (x, x) симметрична, существует аксиома 1 °.

Аксиома 2 °) и 3 °) в сочетании с требованиями симметрии, Билинейная форма (см. Подраздел 1§1 этой главы). Аксиома 4 °) Потому что квадратичная форма A (x, x) положительно определена. Замечания. Очевидно, что аксиома скалярного произведения Тем не менее, это считается набор требований, которые определяют Линейный, полярный положительно определенный Вторичный формат. Таким образом, линейное скалярное произведение Вы можете определить пространство, используя этот вид билинейного Форма.

Смотрите также:

• Решение задач по линейной алгебре

Представление билинейной формы в конечномерном линейном пространстве	Метод Лагранжа
Преобразование матрицы билинейной формы при переходе к новому базису. Ранг билинейной формы	Метод Якоби