Матрица линейных операторов в заданном базисе линейного пространства V

Матрица линейных операторов в заданном базисе линейного пространства V

• Матрица линейных операторов для заданного базиса Линейное пространство V. Модификация линейного пространства V Фонд еи, В2, …, эп. Пусть х — любой элемент из V, N x = ^ X ^ k E.11) к = 1 X разложение вдоль этой базы. Пусть A — линейный оператор из L (V, V). Тогда получи от Е.11) N Axe = ^ 2xkAek. E.12) к = 1 предположение N Aek = ^ 2ajkay, E.13)

• Заменить E.12) следующим форматом: k = l j = l 3 = 1 \ k = 1 /. Следовательно, если y = Ax и координата элемента y равна y1, y2, …, yn, тогда Vj = X> ^ *> 3 = 1,2, …, позиция E.14) к = я Рассмотрим квадратную матрицу A с элементом a3k. A = D). Эта матрица называется матрицей заданных линейных операторов nis basic ei, b2, …, ep.

Наряду с ранее указанным методом линейной записи pa используется для данной базы ei, b2, …, ep матричная форма. Людмила Фирмаль

Если запись ma: y = Ax, и x = (x1, x2, …, xn), y = = (Y1, y2, …, yn), где 2 / J, j = 1, 2, …, n определяется с использованием Соотношение E.14), и элемент a3k матрицы A имеет вид Murum E.13). Замечания 1. Если оператор A равен нулю, все элементы матрицы Матрица A этого оператора равна нулю на любом основании, то есть A равно нулю Матрица.

Замечание 2: когда оператор A является единицей, то есть A = I, Матрица операторов — это единица в каждой единице. Другими словами mi, в этом случае A = E, где .E — единичная матрица. В будущем Единичная матрица обозначается символом /. Для всех линейных операторов A из L (V, V), Для заданного базиса в линейном пространстве V матрица A Это оператор.

Естественно, возникают противоположные вопросы — о каждом Может ли V содержать данную матрицу A с заданной базой Соответствие есть линейный оператор А и матрица Матрица. Также важно прояснить проблему уникальности матрицы Линейный оператор для данного базиса. Следующее предложение верно. Теорема 5.5.

• Дать основание для линейного пространства V квадратная матрица, содержащая ei, e2, …, en и A = (aJk) n строк и n столбцов. Есть только один линейный оператор. Ртор А, чья базовая матрица является матрицей А. Доказательства. Сначала докажем существование оператора A. Для этой цели мы определяем значение Ae ^ для этого оператора на основе:

Предполагая это, используйте вектор e & Relationship E.13) Износ aJ k равен соответствующему элементу данной матрицы A. Значение оператора A на любом векторе x∈V, разложение Базисные векторы ei, b2, …, en задаются E.11). Определено в E.12).

Очевидно, что построенный оператор является линейным, а матрица этого оператора Радиатор Матричный А. Людмила Фирмаль

Единственность оператора A с матрицей базисов ei, b2, … …, en является матрицей A и следует соотношению E.13): Эти отношения однозначно определяют следующие значения: Радиатор для базисных векторов. Замечание 3. Пусть A и B — квадратные матрицы степени n, A и B — линейные операторы, соответствующие им в данном базисе {e ^}

Из доказательства теоремы 5.5 для пространства V матрица A + \ B (Λ — конкретное число) соответствует линейному оператору A + B (Напомним, что A, B и A + LV принадлежат L (V, V)). Докажем следующую теорему. Теорема 5.6. Ранг линейного оператора A равен рангу матрицы A Пример этого оператора: звонил А = звонил А Доказательство.

По определению звонил A = тусклый (im A), и im A — линейная оболочка вектора g /. (См. Матричный формат для описания операторов и определений im A). Следовательно, ранг A равен линейно независимому максимальному числу Вектор G &. Поскольку векторы ei, b2, …, en линейно независимы, Далее, согласно E.15), максимальное количество линейной независимости.

Паз г /, соответствует максимальному количеству линейных независимых линий (A \, a2k, …, a ^) Теорема о матрице A, т. Е. Ранг A, доказана. Пусть A и B — любая квадратная матрица, содержащая n Ряд и n столбцов. Теоремы 5.3, 5.4, 5.5 и 5.6 означают следующее: Результат.

Следствие 1. Ранги T и ngAB продуктов A и B связь rangAB ^ A звонил, A звонил A ^ B звонил звонил А ^ звонил А + звонил Б-н. Результат 2. Требуется обратный оператор A оператора A. Ранг матрицы A оператора A равен n (n = = dimV). Обратите внимание, что в этом случае есть и противоположное Матрица А матрица от А до х

Смотрите также:

Предмет линейная алгебра

Действия над линейным операторам. Пространство линейных операторов	Понятие матрицы
Свойства множества L(V, V) линейных операторов	Основные операции на матрицами и их свойства