Метод проекций. Образование чертежа по Монжу. Проекции точки
Метод проекций. Проекции центральные и параллельные. Параллельное прямоугольное (ортогональное) проецирование. Свойства параллельного проецирования. Метод Г. Монжа.
Метод проекций предполагает наличие плоскости проекций, объекта проецирования и проецирующих лучей. Проекции могут быть центральными и параллельными. Если все проецирующие лучи проходят через одну точку, называемую центром проекций 
, то проекции называются центральными. Если проецирующие лучи параллельны между собой, то проекции называются параллельными.
На рис. 1.1, а показано построение центральных проекций точек 
и 
(объекты проецирования) на некоторую плоскость проекций 
. Проецирующие лучи, проведенные через центр проекций точку и заданные точки и , пересекаются с плоскостью проекций и определяют центральные проекции 
и 
точек и .
На рис. 1.1,6 показано построение параллельных проекций точек и (объекты проецирования) по заданному направлению проецирующих лучей на некоторую плоскость проекций . В результате проецирования на плоскости проекций 
построены параллельные проекции и взятых в пространстве точек и .
Запомните! Проекцией точки называется точка пересечения проецирующего луча с плоскостью проекций.
Соединив прямой линией взятые точки и мы получим отрезок 
, а соединив прямой линией построенные проекции точек мы получим центральную (рис. 1.1, а) и параллельную (рис. 1.1,6) проекции отрезка на плоскости проекций .
Параллельные проекции могут быть прямоугольными (ортогональными) или косоугольными:
- если проецирующие лучи перпендикулярны плоскости проекций, то проекции (или проецирование) называются прямоугольными (ортогональными);
- если проецирующие лучи не перпендикулярны плоскости проекций (угол проецирования не равен 90°), то проекции называются косоугольными.
Отметим некоторые свойства параллельного проецирования:
- проекцией точки является точка;
- проекцией прямой линии в общем случае является прямая;
- если отрезок прямой делится точкой в определенном отношении, то проекции прямой делятся проекцией точки в том же отношении;
- если прямые в пространстве параллельны, то их одноименные проекции на чертеже также параллельны.
Точка в системе плоскостей проекций , 
и 
. Проекции точки в системе прямоугольных координат 
.
Для получения изображений предметов на чертежах французский геометр Гаспар Монж предложил следующий метод — метод параллельного прямоугольного проецирования на взаимно перпендикулярные плоскости проекций.
На рис. 1.2, а показано наглядное изображение трех взаимно перпендикулярных плоскостей проекций:
- фронтальная плоскость проекций ;
- горизонтальная плоскость проекций ;
- профильная плоскость проекций .
Плоскости проекций, пересекаясь в пространстве, делят пространство на восемь частей, которые называют октантами. Слева от плоскости проекций располагаются 1, 2, 3 и 4 октанты, пронумерованные против часовой стрелки. Для получения изображений предмет располагают в 1-м октанте (европейская система) между наблюдателем и плоскостью проекций и проецируют его на каждую из взаимно перпендикулярных плоскостей проекций , и , построив соответственно горизонтальную, фронтальную и профильную проекции предмета.
В качестве объекта проецирования на рис. 1.2, а взята точка 
и построены ее прямоугольные проекции на каждую плоскость проекций:
- —
— горизонтальная проекция точки; 
— фронтальная проекция точки;- —
— профильная проекция точки.
Плоскости проекций пересекаются между собой по линиям, которые называют осями проекций: ось 
, ось 
и ось 
.
Оси проекций принимают за оси координат, определяющих положение точки в пространстве, и называют системой прямоугольных координат , и . Оси проекций пересекаются в точке 
— это точка начала координат.
Расстояния точки от каждой плоскости проекций определяют ее положение в пространстве и называются ее прямоугольными координатами:
- координата
— расстояние от плоскости проекций (абсцисса); - координата
— расстояние от плоскости проекций (ордината); - координата
— расстояние от плоскости проекций (аппликата).
Чтобы перейти от наглядного изображения системы трех плоскостей проекций , 
и и получить чертеж (эпюр), плоскости проекций первого октанта повертывают относительно координатных осей и совмещают с фронтальной плоскостью проекций следующим образом:
- фронтальная плоскость проекций сохраняет свое положение;
- горизонтальную плоскость проекций поворачивают относительно оси проекций вниз;
- профильную плоскость проекций поворачивают относительно оси проекций вправо.
На чертеже (см. рис. 1.2, б) координатные оси проекций располагают следующим образом:
- ось — горизонтально;
- ось — вертикально;
- ось — раздваивается и проводится как продолжение осей и от точки — начала координат.
Чертеж предмета содержит изображения проекций этого предмета.
Проекции предмета строятся как проекции совокупного множества точек, определяющих и задающих поверхность этого предмета. Точки объединяются в более общие известные из геометрии элементы: прямые, плоскости и различные поверхности (гранные, цилиндрические, конические и т. д.).
Чертеж точки содержит ее проекции, которые строятся по координатам этой точки.
На рис. 1.2, б показано построение чертежа произвольной точки , заданной на рис. 1.2, а, положение которой в пространстве определяют координаты 
и 
. Для построения чертежа этой точки выполнены следующие графические действия:
- влево от точки по оси отложен отрезок
— координата 
; - вниз от точки
отложен отрезок 
— координата 
(отрезок на чертеже в 2 раза больше, чем на наглядной картине) и построена горизонтальная проекция точки . - вверх от точки отложен отрезок
— координата и построена фронтальная проекция точки .
!!! Запомните! Горизонтальная и фронтальная проекции точки лежат на одной вертикальной линии, перпендикулярной оси , которая называется линией связи.
Чтобы построить профильную проекцию точки, следует провести горизонтальную линию связи, перпендикулярную оси проекций , и отложить от полученной точки 
отрезок 
равный координате (или отложить от точки вправо по оси отрезок 
и провести вертикальную линию до пересечения с линией связи от фронтальной проекции точки 
.
!!! Запомните! Фронтальная и профильная проекции точки лежат на одной горизонтальной линии связи, перпендикулярной оси проекций .
На рис. 1.3 показано построение чертежа точки 
по заданным (в скобках) координатам , и в миллиметрах. Выполнены следующие графические построения:
- проведены оси координат , и на поле чертежа;
- от точки влево отложен отрезок
-координата 
и через точку 
проведена вертикальная линия связи; - вниз от точки по линии связи отложен отрезок
— координата 
и построена горизонтальная проекция 
точки 
;
- вверх от точки по линии связи отложен отрезок
— координата 
и построена фронтальная проекция 
точки ; - проведена горизонтальная линия связи от фронтальной проекции ;
- от точки
отложен вправо отрезок 
, равный координате 
, и построена профильная проекция 
точки .
Структуризация материала первой лекции в рассмотренном объеме схематически представлена на рис. 1.4 (лист 1). На последующих листах 2 и 3 повторно приведены иллюстрации к этой схеме, способствующие закреплению изученного материала и его быстрому визуальному повторению (рис. 1.5 и 1.6).
Аппарат проецирования объект проецирования; плоскость проекций; направление проецирующих лучей.
Проекции называют центральными, если проецирующие лучи исходят из одной точки, называемой центром проекций 
Проекции называют параллельными, если проецирующие лучи параллельны (центр проекций удален в бесконечность).
Параллельные проекции могут быть
• Косоугольными, если проецирующие лучи не перпендикулярны плоскости проекций
• Прямоугольными, если проецирующие лучи перпендикулярны плоскости проекций
На чертеже
Точки обозначаются прописными буквами латинского алфавита 
… и т.д, или арабскими цифрами 1, 2, 3, и т.д. Проекции точек обозначаются теме же буквами, или цифрами, но со штрихами 
и т.д.; 
, 
и т.д
Линии обозначаются строчными латинскими буквами 
и т.д. Их проекции обозначаются теме же буквами, но со штрихами 
и т.д
Плоскости обозначаются греческими буквами 
и т.д. Их проекции обозначаются теме же буквами, но со штрихами 
и т. д.
Эта теория взята со страницы лекций для 1 курса по предмету «начертательная геометрия»:
Начертательная геометрия для 1 курса
Возможно эти страницы вам будут полезны:
