Оглавление:
Непрерывность функции в точке
Пусть функция 
определена в точке 
и в некоторой окрестности этой точки. Функция
называется непрерывной в точке
, если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, т. е.
Равенство (19.1) означает выполнение трех условий:
1) функция 
определена в точке
и в ее окрестности;
2) функция
имеет предел при 
;
3) предел функции в точке
равен значению функции в этой точке, т. е. выполняется равенство (19.1).
Так как 
, то равенство (19.1) можно записать в виде
Это означает, что при нахождении предела непрерывной функции
можно перейти к пределу под знаком функции, то есть в функции
вместо аргумента 
подставить его предельное значение
.
Например, 
. В первом равенстве функция и предел поменялись местами (см. (19.2)) в силу непрерывности функции 
.
Пример №19.1.
Вычислить 
.
Решение:
Отметим, что 
при 
.
Можно дать еще одно определение непрерывности функции, опираясь на понятия приращения аргумента и функции.
Пусть функция
определена в некотором интервале 
. Возьмем произвольную точку 
. Для любого 
разность 
называется приращением аргумента
в точке
и обозначается 
: («дельта
») 
. Отсюда 
.
Разность соответствующих значений функций 
называется приращением функции в точке и обозначается 
(или 
или 
или 
(см. рис. 119).
Очевидно, приращения и могут быть как положительными
так и отрицательными числами.
Запишем равенство (19.1) в новых обозначениях. Так как условия
и 
одинаковы, то равенство (19.1) принимает вид 
или
Полученное равенство (19.3) является еще одним определением непрерывности функции в точке: функция
называется непрерывной в точке
, если она определена в точке
и ее окрестности и выполняется равенство (19.3), т. е. бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.
Исследуя непрерывность функции в точке, применяют либо первое (равенство (19.1)), либо второе (равенство (19.3)) определение.
Дополнительный пример №19.2.
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
| Предельный переход в неравенствах |
| Предел монотонной ограниченной последовательности |
| Непрерывность функции в интервале и на отрезке |
| Точки разрыва функции и их классификация |
