Оглавление:
Неравенство Чебышева. Закон больших чисел
- Чебышевское неравенство. Много законов Следующие два неравенства называются неравенствами Чебышева. Теорема 6. Если x> 0, имеет место следующее неравенство. P {| 61> *> <^. (31) (32) Доказательство. Вычислить математическое ожидание с обеих сторон неравенства Мы получаем M | 61> * M / (11 |> r | = xP {| 61> *}.
- Неравенство (32) относится к случайной величине η = (b-M £) 2 и выводится из первого неравенства при использовании факта, что M * i = Dc. Теорема доказана. Неравенство Чебышева (32) показывает, что для малых дисперсий с вероятностью, близкой к 1, случайная величина £ центрирована на математическом ожидании M $. P (\ 1-MC 1->. (33)
Неравенство Чебышева позволяет легко доказать некоторые предельные соотношения, включающие последовательности независимых случайных величин. Людмила Фирмаль
В теоремах 7 и 8, которые доказаны ниже, для каждого a определяется случайная величина, В конечном конечном вероятностном пространстве (Q, sin, Pn) для каждого фиксированного k 0, такая как <ω и = 1,2, …, то e> 0 ‘Htt {| *’ + «6, + ^ + mb |> e} -1 (34) Доказательство. = … -f \ n и применить неравенство (33) к tn / n. Для любого x> 0: Из D £ * = D £ * <и * (см. Теорему 4).
С (35) n-> oo (34). Для результатов £ 2 M | n = a, D Gn = o2 0 Hmpf | S »+ … + U -fl | <(36) L-> ооо * я) Ограничительные утверждения типов (34) и (36) называются законом больших чисел. Закон больших чисел показывает, что когда вероятность приближается к 1 для n-> oo, среднее арифметическое суммы независимых членов при определенных условиях приближается к константе.
- Из (36) мы получаем много законов в схеме Бер-нуля. Теорема 8. (Теорема Бернулли). Пусть tl — число успешных п тестов схемы Бернулли с вероятностью 0 0 »» P {| £ H <*} — 1. <37> Доказательство. Можно выразить как сумму независимых терминов … + £ „, Где = 1, если i-й тест успешен, g, если наоборот, и = g 0. = p, D £, = p (l-p \ 9, так Результат (36).
Теорема доказана. Соотношение (37) показывает, что когда n велико, разница между относительной частотой \ in / n и вероятностью успеха мала с вероятностью, близкой к единице. , Рассматривая серию из n тестов по Бернулли для одного теста и выбирая x, = Может быть, ма ^ о / n-p > x неравенство \ практически невозможно.
Какие вероятности считаются малыми, зависит от конкретного применения. Людмила Фирмаль
Смотрите также:
Предмет теория вероятностей и математическая статистика
| Евклидово пространство случайных величин | Биномиальное распределение |
| Условные математические ожидания | Теорема Пуассона |
