Несобственные интегралы от функций, меняющих знак

Оглавление:

Несобственные интегралы от функций, меняющих знак

Несобственные интегралы от функций, меняющих знак. Из уравнения (48.10) следует, что функции/ +и Д интегрируемы по Риману в этой области, если функция / может быть интегрируема по Риману в некоторых областях, измеряемых Жорданом. От 8 Кудрявцев Л. Д. вып.2 $ 48.Нечеловеческие кратные интегралы Двести двадцать шесть Первое выражение (48.12) означает opposite. So из (48.10)-(48.12), Интеграл!Интеграл$ [ccU и 5мс интеграция). она сразу же получается на основе формулы (48.11), первой Формулы (48.12) и теоремы 2 в этом разделе (см.§ 48.2). Однако обратная теорема сохраняет несколько неправильных интегралов. Теорема 3.Когда мультипликативный $ / e ^(n 2) сходится, он сходится к абсолюту.

Как и в случае неправильного интеграла функции 1 переменной, абсолютная сходимость кратного интеграла означает его сходимость (в этом случае, конечно, рассмотрим только интегрируемые функции со всеми открытыми, измеримыми множествами, которые входят вместе с замыканием открытого множества). Людмила Фирмаль

Эта теорема, которая на первый взгляд не была ожидаемой, связана с определением неправильного интеграла и разности между функциями 1 и n переменных (π1), показанными в начале этого раздела*). Доказательство теоремы. Интеграл|!Предположим, что АО полностью расходится. То есть последовательность открытых Жордановых измеримых множеств части (и 48.2, см. теорему 1), Ok, k = 1, 2,…. является монотонно исчерпывающей. Существует открытое множество O, Eagle| / / / yOK + oo. Не теряя общности(при необходимости передавая ее в подпоследовательность), можно предположить: 51/1&6k + 1 3§ / / 1©Ок + 2к, к = 1, 2,….(48.13).

Если вы говорите Ak = Crk \ \ Ok, то Ak является открытым измеряемым множеством и с тех пор в порядке. Ck + 1, то (рис. 199) Ok + 1 = Ak] Ok, следовательно $ 1/1&0К + 1 = $ | / / дак -\ -$ / / / . Однако заметим, что в случае I-мерного случая, если соответственно введено неверное определение N-кратного интегрирования, может быть получена связь между той же сходимостью и абсолютной сходимостью интеграла, что и в случае 1-мерного случая. Например, в случае Однако, если мы применяем неверное определение интеграла, данное в 18.1, к 1D-интегралу и понимаем 1D-Интеграл Римана в смысле§ 44, то теорема 3 вместе с ее доказательством применяется к η= 1. 48.3.

Пользовательские интегралы функций изменения кода. Двести двадцать семь Таким образом, неравенство(48.13),§| / / электронной. АК 2§| / [ЛЗ * + 26. Используя 2-е выражение (48.12)、 $ / + М * + $ / _ см * 2 $ | L4C * + 2 . Для ясности,$ / + dAk ^ $ / _ c1Ak; затем 2 \ 1, иии ^ \ \ йаацц ^2222\!\ AOk {2k, следовательно Млн $ $ | / Нет. + 6.(48.14） Наша цель состоит в том, чтобы получить этот тип неравенства для функции/, а не функции/+.для этого кажется, что функция/ +просто отбрасывает точку, в которой она исчезает. Для остальной части набора это будет/=/+.Однако совокупность результатов, вообще говоря, может быть неизмеримой, и в случае*、 Поэтому сделайте небольшой крюк.

Из неравенства (48.14) следует, что разбиение m = достаточно мало = {D} r = 1 комплект Ak 1°(см.§ 44.3） |] / +(1;)| ^ $ |ЛЮк+к、 * = 1 Б » = 1,2,…в/ оВыберите указанный раздел m открытого измеряемого множества Ak так, чтобы все элементы этого раздела E также находились в открытом измеряемом множестве Jordans-это всегда возможно (см.§ 44.4). Те множества E1 e m, которые показаны в E}. (f) выберите 0 | e Ep для всех точек, затем^^ ^ Е1ФЕ, чтобы получить / (5) = ° Д] 7+(б) СЕ? 5 / / / ЮК + к, (48.15） Я Здесь (также в будущем) знак «штриха» суммы означает, что сумма будет расширена только до индекса I, где сумма равна E,= E. БК=] ’ Е? (См. Рисунок 199).

Интеграла всего пространства этого достаточно, чтобы получить только «мерный шар», центрированный вокруг начала координат, при определении интеграла как элемента монотонно исчерпывающей последовательности. Людмила Фирмаль

Очевидно. Я Bk-открытое измеримое множество, которое находится в множестве Ak, а m * = {D.} Это partition. At конец этого множества/ + 0, следовательно/ ±/.От неравенства (48.15)*функция для нижней суммы дарбуша 5м[ Восемь * § 49.Некоторые приложения кратных интегралов 228. Множество Bk удовлетворяет неравенству 5X * ^ $ / cKk + K. И мы увидим, что (48.16） / 2е =-| /и поэтому、 (48.17).） Получите его, добавив неравенства (48.16) и(48.17). \ 1 МК + \ 1yOk ^ к. (48.18） Ok = Bk [] 6k, k = 1, 2, конечно B) k открыт С измеряемым набором S * s. и Sy + 1, k = 1, 2,….(48.19） Поскольку множество Bk и Ck не пересекаются (поскольку множество Ak и 0k не пересекаются), (48.18) в§ / (Yk k, откуда Орел! ЮК =\ ОО. (48.20)） -так• ’ Из включения (48.19) множество Ok, k = 1, 2,…образует последовательность измеримых открытых множеств и монотонно исчерпывает открытые множества O.

Несобственные кратные интегралы. Основные определения.	Вычисление площадей и объемов.
Несобственные интегралы от неотрицательных функций.	Физические приложения кратных интегралов.