Оглавление:
Объемная плотность энергии электрического поля и выражение механической силы
Выражение механической силы как производной от объемной плотности энергии электрического поля и энергии электрического поля по отношению к изменяющимся координатам. В какой-то момент предположим, что напряжение на конденсаторе равно и.
- Когда напряжение на конденсаторе увеличивается на du, заряд на одной стороне пластины конденсатора увеличивается на dQ, а заряд на другой пластине увеличивается на dQ. dQ = C du. Где C — емкость конденсатора.
Чтобы передать заряд dQ, источник энергии должен провести работу, равную udQ = Cudu. Людмила Фирмаль
Эта работа проводится при создании электрического поля в конденсаторе. Энергия, подаваемая от источника при зарядке конденсатора от напряжения u = 0 до напряжения k = t / и переходе к напряжению электрического поля конденсатора, равна CU * Q2 Дж и Ои2 «2С» о.
Рассмотрим объемную плотность энергии электрического поля. Для этого предположим, что используется плоский конденсатор, расстояние между пластинами равно x, а площадь каждой пластины на одной стороне равна S. Электрическая проницаемость среды между пластинами равна c. Напряжение между пластинами U.
- Не обращайте внимания на влияние искажения краев конденсатора на электрическое поле между пластинами. При этом условии поле можно считать однородным. Напряженность электрического поля E по модулю равна E = V_. X Q Коэффициент электрической индукции D = eE == -. Емкость э.с. плоского конденсатора =.
Чтобы найти объемную плотность энергии электрического поля, разделите энергию w3 = * — = — •• на объем V-Sx и «электрическое поле занимает». V = 2Sx * ”2” 2.
Следовательно, объемная плотность энергии электрического поля равна e £ *. Людмила Фирмаль
Если поле неоднородно, интенсивность будет меняться при перемещении из одной точки поля в смежную позицию, но объемная плотность энергии поля eE2 будет равна. Это потому, что поле считается «однородным» в бесконечно малом объеме. Выберите основной объем dV в поле.
В первой части 77 курса ОО, где энергия в объеме V равна Å2TdK, энергия в объеме V любого размера равна Å2TdK Изменения координат рассматриваются как производная энергии магнитного поля.
В электрическом поле механические силы также действуют между заряженными объектами и могут быть выражены как производная энергии электрического поля по отношению к изменяющимся координатам. Чтобы изучить эту проблему, посмотрите на диаграмму. 418 а.
Это показывает плоский конденсатор, подключенный к источнику напряжения U. Как упомянуто выше, расстояние между пластинами называется х, а площадь пластины равна S. Сила G действует на каждую пластину конденсатора. Под действием этих сил конденсаторная пластина имеет тенденцию приближаться.
Сила, действующая на нижнюю пластину, направлена вверх и вниз на верхнюю пластину. Предположим, что под действием силы F нижняя пластина движется очень медленно, теоретически бесконечно медленно, на расстояние dx, принимая положение, обозначенное пунктирной линией на рисунке. 418 а.
Уравнение энергетического баланса состоит из таких движений пластины. Исходя из закона сохранения энергии, энергия, поступающая от источника энергии, должна быть равна сумме трех слагаемых. 1) Работа силы Γ на расстоянии dx: Fdx = Fdx. 2) Изменение нулевой электрической энергии конденсатора 3)
Потери тепла от / тока, протекающего по проводу с 7 сопротивлением? В течение периода от 0 до 0: согласно экспериментальным условиям, пластина конденсатора теоретически движется бесконечно медленно, поэтому изменение заряда на пластине также происходит очень медленно, поэтому через конденсатор проходит небольшой ток смещения. oo
Другими словами, потери тепла | Ri * dt можно игнорировать после dWu ^ Fdx + dW *, потому что уравнение баланса энергии мало. Следовательно, сила d (Wu-WJ F = сила Γ может быть выражена как производная разности энергий (Now-U7 ^) по изменяющейся координате x.
В общем, когда пластина движется, пластина Напряжение между U и зарядом Q также будет варьироваться. Теперь рассмотрим два характерных конкретных случая перемещения пластины конденсатора: в первом случае конденсатор отсоединен от источника напряжения, а пластина находится на пластине.
(Конденсатор подключен к источнику постоянного напряжения U.) Первый случай: поскольку конденсатор отключен от источника энергии, последний не подает энергию и, следовательно, dWu = 0 Кроме того, dF, F == — «Сила, действующая на пластину T • dx, равна переменной производной, взятой из энергии электрического поля конденсатора с противоположным знаком.
Указывает, что действие силы выполняется путем уменьшения энергии поля конденсатора, а сила F по модулю равна dW9 dx, принимая во внимание энергию поля конденсатора, во втором случае: U = const, dWu ^ UdQ = L’2 dC, где dC — увеличение емкости, вызванное уменьшением расстояния между пластинами на dx, изменением энергии электрического поля конденсатора U2 U2dC d \ X’u- dW9 = U2 dC dC = = dW9 2 2
Следовательно, во втором случае f = ^ = l ^ dC dx 2 dx Следовательно, во втором случае сила является производной энергии электрического поля относительно меняющихся координат. Следовательно, емкость равна dC eS dxх2 ‘1 / Uf iSE2.
Сила, действующая на пластину конденсатора во втором случае, точно такая же, как сила, действующая на пластину конденсатора в первом случае, единица F Pa Поверхностный конденсатор с мощностью
Действующая — эта сила — 2 сГ2, представляющая не только плотность энергии электрического поля, но и тот факт, что она численно равна силе, действующей на единичную поверхность пластины конденсатора.
Сила, действующая на пластину конденсатора, может рассматриваться как результат появления продольной силы сжатия (вдоль силовой трубы) и поперечной силы (вдоль силовой трубы). , Тенденция к укорачиванию силовой трубки, а сила бокового толчка расширяет ее.
Блок на стороне выходной трубки работает численно. Эти силы появляются не только в виде сил, действующих на пластину конденсатора. Это также появляется на границе раздела между двумя диэлектриками.
На границе раздела между двумя диэлектриками сила прикладывается к диэлектрику с меньшей электрической проницаемостью. Пример 177. Два провода диаметром 10 мм расположены параллельно (рис. 418, 6). Расстояние между осями проволоки составляет 20 мм.
Заряд К каждого провода на метр длины К) -8к. Левый провод несет положительный заряд, а правый — отрицательный! , Найти самую высокую и самую низкую плотность заряда на поверхности провода. Решения. Найти положение электрической оси: х ~ = 1,35 мм.
Плотность заряда на поверхности металла составляет c = D = eE. Поэтому, когда Е является максимальным, а является большим. Учитывая, что напряженность поля, создаваемая положительным зарядом, находится вне этого заряда, и что напряженность поля, создаваемая отрицательным зарядом, движется в направлении заряда, максимальная напряженность поля находится в точке A и в точке B.
Становится ясно, что это минимизировано. Точка AE_C 1 Q 2le / (r-ar> 2le I (Drl) ‘и точка B Ev = — * — (- 1 * -V 2-й V + x D + rx) Равен суммарному натяжению и равен разности натяжений в точке B. Следовательно, Д ° А- • е-Л2Л1 \ 0,005 —0,00135 ‘0,02–0,005–0,00135)’ = 0,544 (мкк / м2), верно? Yu «» 7 1 1 \ «» 2JX.1 \ 0,005 1-0,00135 0,024-0,005-0,00135 / = 0,186 (мкк / м2).
Поэтому плотность заряда в точке А в 2,92 раза выше. * ♦ Найти градиент потенциала в точке M (расположенной в середине проводов на линии, соединяющей их центры) в соответствии с условиями предыдущей задачи, поэтому E = —gradcp, так что модуль grad cp равен модулю E и направлению grad cp противоположна направлению E.
Точка MP = Q г / 1 4 1_ \ = 10 ~ 8 • 2 = L ‘2 log V> i2-Pi2- • AA Найти = 11 ~ ° 18- • Найти 1 1 2L.1.6000 1P 1P10 по формуле (13.48 ‘) … 12.4.1010 (mf \ 11 2ls g 2l • 8.86 • 10 * 2 6’h = -In-2 = 12,9. 1010 м / ф, 2l-a, 2 = a2 = = L1n 1 In- = 2,9. 10> «(м / ф), ’21 2 да a12 2l-8,86-10-12 1410 7 A = | «na, r1 =. 12,9-2, 92) = 151,6. 10 (м ^ / ф1), | 012 0 * 12 IС ^ ^ = 0,659 .10-» ф / м, С22 =? * 1 ^ 12. = 0,626. 10- «ф / м, C12 = ^ = 0,191. 10-нф / м.
Пример 179. Провод 1 примера 178 соединен с землей через источник ЭДС. E = Поскольку 127-дюймовый провод 2 представляет собой металлический проводник и соединен с землей, потенциал равен нулю (рис. 419, б), и для каждого погонного метра определите заряд на проводах 1 и 2.
Решение по уравнению (13.49) <p2 = 0, T1 ~ Ф1Р11И = Ф1Р12 «Р =? «= 12-9 • 1010 = 0,852 ■ 10 (ф / м), 11Д151,6-10го ‘₽12 = -C12 = -0,19110-11 ф / ф. Заряд первого провода равен t1 = 127,0 852,10-р = 1.08.10- ‘(кратковременно) Заряд второго провода составляет м2 = -0,191. 127 = -0,242. 10 «® (к / м).
Пример 180. Расход на единицу длины провода 1 составляет 2-10″ ® К / м на рис. 419. Заряд t2 на единицу длины провода 2 равен 10 «´k / m. Определите потенциал в точке L4, предполагая, что потенциал земли равен нулю. G» Ti, 1L1. t2.
Решения. , = —In-In = ™ 2le «1L1 2 2zi» 2M =! n EE + l ln E ± ¡з = z.b (c). 2l • 8,86 • 10 «12 y2» »2l.8.86 •] 0» 12 2 Пример 181. В точке L ‘(рис. 419, o) определяется плотность наведенного заряда на земле. Провод такой же, как в примере 180.
Решения. Согласно уравнению (13.33) плотность заряда на поверхности проводника равна напряжению в этой точке, умноженному на е. Напряженность поля в точке N (рис. 419, в) равна геометрической сумме напряжений от четырех зарядов: от заряда (обозначается EJ) от заряда τt2 (E2) и зеркального отображения этих зарядов (E / и E2 ‘) = = +4
Напряжения e1 и Ex направлены и сложены по прямой (вертикально). E2 и E’2 пример cos a T2 L 182. Две металлические пластины (теоретически бесконечные) находятся в воздухе (рис. 420) и касаются друг друга, образуя двугранный угол ; C, -20100 В / см 6 Следовательно, 30 • -20SОх + 200 = 5000.V » -20100% + 200 дюймов.
Пример 185 Цилиндрический конденсатор с воздушной изоляцией вокруг внутреннего электрода радиусом r0 имеет заряд короны насыпной плотности рк / см3, внешний радиус короны равен rL (рис. 423), радиус g3 внешнего электрода, внутренний электрод Потенциал f равен 0, а потенциал внешнего электрода равен 0.
Получена формула для определения φ в пространстве, занимаемом пространственным зарядом (называемым областью 1), и в пространстве, не занятом свободным зарядом (область II). область Двойной интеграл по 1 D F R D (Pi \ Ргdr \ др) * е0».r есть, Во второй области ± A (T ^ n) = 0. g dr \ dr] Fromн = Calnr- | -из C4.
Создайте четыре уравнения, которые определяют четыре интегральных константы (Clt C2, C3, C4). r = r0 cp, = (p0. Следовательно, Φ0- + Oj In r0 + Ca. (A) 4h. r = T] i + Cnn + C ^ CsInG + C ( б) Когда 4CH r = r2Фн = о, О = С31пг2 ‘С4. (c)
Когда r = r, нормальная составляющая вектора электрического смещения D равна: или совместное решение уравнений (a) и (b), (C), (g) (опущено) дает C3 из уравнения (g), определяет C4 из уравнения (c) и Ca из уравнения (a) и считает, что пространство между облаками и землей является огромной плоскостью Не может датчик, поле E в нем направлено от облака к земле.
В двух случаях найдите потенциал в точке A, которая находится на расстоянии 8 м от поверхности земли. 1) Заземленный Если кабель не растянут на поверхности земли (рис. 424) и 2) Если он находится на земле выше точки А на высоте 10 м от заземленного заземленного стального кабеля диаметром 10 мм (рис. 425) ).
Решения. Без кабеля = EhA, где Лл = 8 м. Если имеется кабель, потенциал в точке A генерируется не только однородным электрическим полем «плоского конденсатора», но и зарядом кабеля qmp: φ «= £ Лл + L Ом 1п40008,3 ~ ‘° * Пример 187. Незаряженные металлические элементы вводятся в однородное поле с интенсивностью £ о = 103 кв / м.
Найдите ER и 0 0 в точке A с радиусом a-1 см, координаты точки A: R-2 см и 0 = 30 °. Решение: следуйте формуле §417! = 10е. 1 (1-1) = 0,4375 • 10e (об / м). Результирующая напряженность поля по модулю E = ^ Ek + E = 1,168. 10® об / м.
Пример 188. В воздухе создавалось однородное электрическое поле с напряжением E ^ = 103 кв / м, в это поле помещался диэлектрический цилиндр (ez = 4), а ось цилиндра была перпендикулярна полю Я сделал это Найти напряженность электрического поля Et внутри цилиндра.
Решения. Используйте выражение (13.72) ci + e0 = 4. U2 (кв / м). Пример 189. В некоторых областях пространства есть поле, потенциал которого зависит только от координаты Φ = bx3-60×2 системы Хедекард. Найти закон изменения плотности свободного заряда в этой области.
Решения. Уравнение Пуассона, описывающее поле, можно записать в виде ^ 2Φгяо / / d dx2 Дифференцирует eφ дважды по x 15×2-120x. = ЗОх-120. Dx dx2 Следовательно, pre hc (gp, dx = dr Jc0sPdp = ft ft> = dr fsin pdp = ih (ccs pg to No. pi); 3, 1/2 2 £ = * cx + £ y точечный заряд
Точка K от t dx равна Er = Г:, r.dx dtp = 4nt /? 4 le sin pt dp ^ (сэр, p2 ~ sinpl): • 2 r’2 Ex + EyК от точечного заряда t dx = ft = Arsh (ctgp), J. = — (AJ snip 3. / Ia a \ Example 191. Из-за неравномерного нагрева диэлектрическая проницаемость изоляции коаксиального кабеля (рис. 427) как функция радиуса r равна E = = ~
Радиус r сердечника кабеля, который выводит формулу для определения напряженности поля E и смещения D, является внутренним радиусом оболочки r 2. Натяжение U. Объемный заряд между сердечником и оболочкой равен №
Решение Используйте теорему Гаусса (уравнение 13.20) в дифференциальной форме (поскольку она получается при условии e == const, невозможно применить уравнение Лапласа, см. §393). В 13.24) E заменяется на D, а I) имеет только один компонент r и является симметричным.
Предположим, что он не зависит от координат r и a-> 1 d div D = -v (rDr) = 0. r yr rOr == »r!) C; С является интегральной константой. Следовательно, D изменяется обратно пропорционально радиусу. Напряженность электрического поля I) Cr C, то есть напряженность электрического поля постоянна.
Определить постоянную интегрирования C. Для этого мы используем тот факт, что C (r2-G) r. На рисунке показаны графики изменения E, D и <p. 427 *. Пример 192. Вывести уравнение для расчета дипольного поля. Решения. Диполь показан на рисунке. 428. Расстояние между центрами заряда обозначено /.
При решении используйте сферическую систему координат. Расстояние от любой точки a до заряда -f-q обозначено Rlt, а угол между зарядом -q и центром диполя между вертикалью и радиусом R равен 0. Потенциал в точке а определяется как потенциал поля двух точечных зарядов. )
Линейность функций r и r по логарифмическому закону. / A_J_ \ = JL. ^ 77. ^ 1 4le \ /? 3 / 4le RtR2 R’S »I, RiR2 R2 и R2-Rt ~ I cos 0, поэтому ql cosO (13.73) §386 из формулы ηdtp qlcos в E * = ~ dR ~ dtp ‘RdQ = £ α = 0; 2n £ / <l ‘ql sin b «4ne7F’ (13,74) (13,75) £ = ^ + # = — ^ — / 1 + 3005’0.
Напряжение tp обратно пропорционально секунде, а натяжение обратно пропорционально кубу расстояния R рассматриваемой точки для диполя. Cp и E — функции угла y. Диаграмма поля диполя показана на рисунке 429. Напряженность поля в любой точке a равна геометрической сумме напряжений fi’i и E2 имеет заряд -f-q и -q.
Используя сферическую систему координат, электрическое поле в той же точке a ER направлен вдоль радиуса R, а ÅГ0 имеет направление B. Пример 193. Напряженность электрического поля и статика двухслойного плоского конденсатора Рисунок 430, который приводит к уравнению для определения емкости, а также к изменению модуля электрического вектора
Поле, модуль вектора электрической индукции L) и потенциал <p как функция расстояния x. Совместное решение (a) и (b) дает толщину первого диэлектрического слоя dlt второго слоя d2. Электрическая проницаемость первого слоя ep второго слоя e2.Take ej = 2cj и d2 = 1,5dj.
Решение: индекс 1 для всех величин, относящихся к первому слою второго слоя Дается индекс 2. Предположим, что разность потенциалов между обкладками конденсатора равна U. Не учитывает влияние искажения края конденсатора на поле, при этом условии поле является однородным в каждом слое.
Поскольку нормальная составляющая является непрерывной, существует Din-D2n, но Dln = ^ Elt D2n-e2E2, поэтому отношение напряжений обратно пропорционально отношению электрической передачи. Это связано с двумя неизвестными величинами Er и E2: dl J Er dx 4- E2 dx = UОd, OR E
Создайте второе уравнение для E2 и E2, основанное на том факте, что ^ + E ^ U. Рис. 430 di 4 — b c2 Графики зависимостей D, E и <p для расстояния x 430. Нормальная работа конденсатора требует, чтобы электрическое поле как в первом, так и в повторяющихся слоях конденсатора не достигало напряжения, при котором происходит этот пробой диэлектрика.
Равномерную напряженность электрического поля, при которой происходит пробой диэлектрика данного диэлектрика, обычно называют диэлектрической напряженностью. Напряжение пробоя диэлектрика, особенно газов, сильно зависит от температуры и давления.
Прочность воздуха на разрыв составляет ZOde / oi при нормальном атмосферном давлении и температуре 18 ° C. При выводе уравнения для емкости двухслойного плоского конденсатора на границе раздела между двумя диэлектриками мысленно помещается бесконечно тонкий металлический лист. Эта операция полностью действительна.
Поскольку поверхность раздела между диэлектриками была эквипотенциальной поверхностью до размещения листа, она остается эквипотенциальной поверхностью после размещения листа, и значение потенциала не изменяется.
После этой операции емкость двухслойного конденсатора можно рассчитать как емкость двух последовательно соединенных конденсаторов Cg и C2. Емкость первого конденсаторного слоя и Са представляет собой емкость второго конденсаторного слоя. S — площадь пластины конденсатора на одной стороне.
Емкость двух последовательно соединенных конденсаторов следующая. ct -P 6-2
Смотрите также:
Если вам потребуется заказать решение по электротехнике (ТОЭ) вы всегда можете написать мне в whatsapp.
