Оглавление:
Общие теоремы о бесконечных рядах
- Общая теорема для бесконечных рядов. При рассмотрении задач, связанных с бесконечными рядами, следует использовать следующую общую теорему. (1) Если ul- \ ~ u.l … сходится и существует сумма, + Также сойдутся и получат сумму a b + c + + •• ~ r ^ + ui n1 ~ f «••• сходится и имеет сумму a b — [- a-c … + k + s. (2) Если -f- m2 + … сходится и сумма равна 5, rrm + 1 + «» + * + … сходится и сумма равна S-U1 ——— Wm- (3) Если какой-либо из рядов, рассмотренных в (1) и (2), расходится или вибрирует, остальные рассматриваемые ряды будут вести себя так же. (4) Когда π + ••• сходится, итоговое значение составляет x, I, I ‘2 3 4’ 2 2
г 1.1.1.1 4 1 Сумма следующих четырех слагаемых ^ >> для i g> «g» — ~ 2 • sUMMa after » 8 1 Есть более 8 слагаемых, чем y = y и т. Д. Поэтому первый 4 + 4 + 8 + 16 + … + 2π = 2n + i Больше участников 2 + T + ‘2 «+ T +'» + -2 ‘= T (l + 3)’ Это имеет тенденцию быть с \ n. То есть серия ветвится до — \ — сс. (8) Это становится. Сумма каждой серии, настроенной таким образом, равна сумме исходной серии. Читатели могут доказать эту теорему самостоятельно. Опять же, обратная теорема неверна.
Если u ++ u ++ … сходится, ряд, состоящий из любого из членов в любых скобках, будет сходиться, поэтому выражение в каждой скобке будет членом новой серии Людмила Фирмаль
| Несколько алгебраических лемм | Бесконечная геометрическая прогрессия |
| Предел n(х— 1) | Представление функций непрерывного действительного переменного с помощью пределов |
Примеры решения, формулы и задачи
| Решение задач | Лекции |
| Расчёт найти определения | Учебник методические указания |
- Следовательно, 1-1 -f-1-1 -… будет колебаться, Или 0 -} — 0 -j- 0 -f … сходится к нулю. (9) Если каждое слагаемое un положительно (или равно нулю), ряд un будет сходиться или расходиться до -j-. При сходимости сумма должна быть положительной (если все слагаемые не равны нулю; в этом случае, конечно, сумма также равна нулю). Фактически, по определению §69, sn является возрастающей функцией n, и результаты этого раздела могут быть применены к V. (10) Если каждое слагаемое un положительно (или равно нулю), необходимым и достаточным условием сходимости последовательности £ un является существование числа K> такое, что сумма любого числа последовательностей меньше K.
Если такой K найден, сумма рядов не будет превышать K. Это продолжается непосредственно с §69. Отбрасывая неположительное условие, нет необходимости подчеркивать, что теорема неверна. Например 1-1 + 1-1 + … Поскольку sn поочередно 1 и 0, оно явно колеблется. (11) + + …, ^ 1 + ^ 2 + .- это две строки с положительными (или равными нулю) членами, а вторая строка также для всех значений nn ^ Kn (K является константой) Если r> 2 + r> 3 + … = /, то vi + + •• + vn ^ * для всех значений n, поэтому «! +» * + + … + un ^
Докажите теорему Kty. Наоборот, ξn расходится и vn K Kun (если ^> 0) расходится. Людмила Фирмаль
