Оглавление:
Оценки интегралов
- Оценочное значение интеграла. если a) функция f (x) интегрируема с отрезками[a, B], и если (x)>0 для всех x в[a, B], то Интеграл функции f (x) в этом отрезке неотрицателен. То есть для любого раздела{x}и любого выбора целочисленная сумма o=(W) A XA>0. В этом случае предел интегральной суммы также не отрицателен. Действительно, предположим, что ограничения этих сумм будет отрицательным. Пусть E= / A/. Выберите раздел{xjJ, который|St-A|<<|A|. Однако
последнее неравенство может быть выполнено только в случае B.< > < 0 не согласуется с условием o^O. f f (x) dx^0. b) интегрировать неравенство. Если функции f(x)и g(x)интегрируемы, то отрезки [a, B]и f(x)^g(x) для всех x в b) Б[А,B], тогда J Ф (Х) DX0. Но с последующей властью, это и необходимое учреждение. C) сделать функцию f (x) неотрицательной последовательно к отрезку[a,&|.
Если существует хотя бы одна точка XO отрезка[a,&]из f(xo)>O, существует Людмила Фирмаль
положительное число ALACs. §4. Свойства определенного интеграла 351 Пусть f(xo)=p>O. тогда, благодаря непрерывности функции f (x) в точке XO, такие соседи, точка XO, любой отрезок[C, d], c^=d,. Лежа полностью в этой окрестности, выполняется неравенство f (x), но тогда p.by презумпция от b) b таким образом J / (x) dx>a>0. если d) функция f (x) является Римановой с сегментами[a, B], то функция / f
(x)|интегрируется с этим сегментом и b б IJ и F (х) D х|<с J / F (х) / Д х. Рассмотрим функцию 0 F (x)^ / A f(x)|=/f (x)|. Затем, благодаря свойству b) При необходимости. д)первое выражение среднего значения. Пусть каждая функция f(x)и g(x)интегрируема с отрезками[a,B]и функциями g(x). Кроме того, этот сегмент неотрицателен(или неположителен). Указывает точную плоскость f (x) на отрезке M y m[a, B.Тогда существует число C, удовлетворяющее неравенству, так что
- выполняется следующее уравнение: b j f (x) g (x) dx=p.J g (x) dx. один (> При дополнительном допущении непрерывности f (x) SEG — ■352 Глава 9. Очистить Интеграл Римана можно утверждать, что в этом отрезке есть точка|точка, в которой справедливо выражение b b\f (x) g (x) d x=f (x) jg (x) d x. () один ‘Формула () называется п Ервой Ф О Р М Л О й СР ЕД н з н А Ч Е Н И я. формула ( * ) также называется первым средним выражением. Формула ( * * ) следует непосредственно из формулы ( * ), и сразу же из того, что непрерывные функции отрезков[a, B]достигают точных плоскостей M и t, а любые промежуточные значения на этом отрезке необходимо доказать
только формулой ( * ). Заметим, что неравенство/n^ / (x)^L1 справедливо, определяя точное значение любого значения x из[a, B] для доказательства выражения (*). Для определенности, предполагая, что g (x) является неотрицательным, он получается путем умножения последнего неравенства на g(x).] М Г(Х)^ф(х) г (х) с^М Г(х). ( * * * ) Так как, кроме того, свойства B (x)и C) Формулы 1,*каждая из функций mg (x), Mg (x) и f(x) g(x) [интегрируема в a,&], » оценка ( * * * ) имеет следующие неравенства:), Можно представить два случая: 1) J g (x) dx=0 и 2) [g(x) dx>0. В первом случае b§f (x) g (x) следует неравенству ( * * * ), где dx=0, и выражение ( * ) справедливо для любого C.
Но Во втором случае, если разделить неравенство ( * * * * ) на число b^g (x) Людмила Фирмаль
dx, то получится §4. Свойства определенного интеграла 353 Дж. ф. (х) г (х) DX Т< —————< У М Г(х)DX а Осталось указать символ z (для завершения доказательства формулы*) * Нильс Хенрик Абель, норвежский математик (1802-1829). 12 Зак Шон Y f (x) g (x)dx jg (x) d x a S l e d s t V I e.для частного случая g (x)=l мы доказали, сформулировав теорему отдельно. Пусть f(x)интегрируемо с отрезками[a,B], а символы M и m обозначают точную плоскость f (x) указанного отрезка. Тогда существует число p, удовлетворяющее неравенству, так что выражение b J f(x) d x=[i(b-a) является действительным. Но
Предполагая непрерывность f (x) выше [A,B], можно утверждать, что этот сегмент имеет такую точку, что выражение b§f (x) d x=f ( % ) (b—a) справедливо. Но Последняя формула обычно также называется f o R M l o y s R e d n e g o z n a h e n I. Это позволяет приложению получить доступ к приложению Приложения Приложения Приложения. Пусть функция f(x)интегрируема,а функция g(x)монотонна с отрезками[a, 6]. Тогда в этом отрезке существует такое число, как b B6J f ( * ) g (x) dx=g (a) p (x) dx+g (b)^f (x) dx. a A g сначала устанавливает следующие
факты: тогда в случае p t^P j^O в i^j, так что число pi удовлетворяет u-i, а число Si=^q k(i=\, 2,. . . ,n) — k=\354 Глава 9. Очистить Интеграл Римана Неравенство r n^S^M, где qh, m, M-также некоторые числа. Тогда TRG<£pgqk®заменит каждый Si на t сначала в последнем уравнении, а затем на M、 (пк-pk+я)<Г pfeqfe<(ПФТ-ПК+я),к=I Фе=Фе я=я О! £(pA-pfe+0=px-pn+i = px. поскольку fe=I, Лемма доказана. В зависимости от приложения, вы не сможете получить доступ к приложению приложения. Предположим, что функция g (x) не увеличивается
на[a,B], а является неотрицательной. Функция f(x)g (x) интегрируема как произведение двух интегрируемых функций. Сделайте Mk и mk точными сторонами f (x) в частичном сегменте[x^ — i,x&]. ‘ Это очевидно п п п п п из-за монотонности г(х), расчетная величина N у(обезьяна-МК)г(xft_i)Axft<г(а)£МК-МК)&ХК действителен. из-за интегрируемости fe=i s=I f(x) сумма левой части последнего неравенства стремится к нулю, когда диаметр D разбиения равен нулю. Таким образом, любая сумма, как для любого числа QY п п п п п £м^(xfe_i)х£п ^ (х fe_i)Axft,£мкг(ХК-я) bxk Фе=Фе я=я б, как правило, при D — >0для то Интеграл J F(х) г (х)DX. Это продолжается и продолжается
§4. Свойства определенного интеграла 355 Двунаправленная оценка интегральной суммы функции f (x) g (x)*. * Т. е. неравенство n n n (Ua-i)Axft<£f g(xA. t) Axfe<£M kS (x k) Axfe. fe=l fe=i fe=i Г) в данном пункте свойства количества компакт-дисков、 х K <. Mh, вы можете выбрать как f (x) dx=DHA. * k-i Икс Заметим здесь, что функция F (x)=J f (/) dt является смежной a В сегменте[a, B]、 * 4-DH АФ=Ф(Х+Ах) — F(х) = J и ф (т)DT=Пакс, Икс inf sup f(t), Т Е[Х, Х+&Х], Тхе[+&х] Следовательно, DX — >0 AF-e-O. Я Рассмотрим следующие числа: S£=C / gahy= к ~ л а Здесь ясно, что t и M являются точными плоскостями функции F (x) отрезка[a,6]. Pk=g (xk-t),,<7fe=pftAxft,k=l, 2, p. Из — за монотонности и
неотрицательности функция G (X) является жизнеспособной Pi> — PJ ом, когда несколько PH, sh и qh удовлетворяют условию леммы Абеля. И так оно и есть. mg (fl)<£g (Xk-i) schachl.Доказательство * Если G (x) не уменьшается, то, заменив gi (x)=-g (x), сведите этот случай к чему-то уже учтенному. Рассмотрим пример применения оценки интеграла. P R I m er s. 1) рассмотрим функцию f (x)=[p<°’и’ 11, x=0. Эта функция f (x) непрерывна в отрезках [0,1]. Проверить §5 легко. Примитивная непрерывной функции 357 Вычисляя производную, где эта функция достигает локального минимального значения при XO=1
/ E, таким образом/(1/e)=e-1/e, это значение является минимальным значением сегмента[0,1]. Свойства этого пункта Б) использовать 1 <J x * d x<l, A легко получить e-1/e=0.692 для числа e_1 / E…. Заметим, что в этом случае значение интеграла Не может быть определено значением базовой функции. 2) если функция f (x) не является непрерывной, то средняя формула ( * * ) может быть несправедливой. Подумайте о функции 1/2, 0<x<1/2, 3/4, 1/2<x<1. Один. Тогда J f (x) dx=5/8. Значение 5/8 не принимается функцией f (x)o в любой точке отрезка [0,1]. Так что нет 1 Число g e[0,1]из J/(x) dx=f (g).
Смотрите также:
| Классы интегрируемых функций | Первообразная |
| Свойства интеграла | Основная формула интегрального исчисления. |
