Оглавление:
Определение верхней и нижней сумм
- Определите количество верхнего и нижнего. Утверждение, удостоверенное в §1, дает основание рассматривать еще более повсеместно только функции, ограниченные заданным отрезком
(неограниченные функции, очевидно, не являются Римановыми). Пусть F (x) — функция,заключенная в отрезки[a, B], и пусть{xk} — любое разбиение этого отрезка. Поскольку F(x) окружен сегментом[a, 6],
он окружен любым подсегментом[Xfc-i,Xft], поэтому функция f (x) Людмила Фирмаль
является точной нижней гранью mk и точной верхней гранью Mk соответственно. Итак, скажем mk-inf f (x),-sup/(x). XK-I^x0 и прямую линию x=a, X=B, перпендикулярную оси ox. 9.2). Пусть задано любое разбиение {xk}отрезка[a, B]. Для непрерывной функции y=f (x) число
Mk является максимальным значением подсегмента[Xk-i,x&]. Таким образом, приведенная выше сумма равна площади базовой ступенчатой фигуры, включающей трапецию криволинейного типа. Эта область заштрихована на рисунке. 9.2 Аналогично, приведенная
- ниже сумма равна площади базовой ступенчатой фигуры, содержащейся в криволинейной трапеции(рис.-9.3). Заметим, что число mk в данном случае является минимальным значением функции y=f (x)в частичном отрезке[Xfe_i,xft]. Если проанализировать
геометрический смысл интегральной суммы, то интегрируемый отрезок [a,&] функции Y-f{x) интеграла Не равен числу, принимаемому за площадь соответствующей
криволинейной трапеции, но к этому§2. Сумма верха и низа и его свойства 335 Если Людмила Фирмаль
диаметр перегородки стремится к нулю, то такое же число стремится к сумме верха и низа. Поэтому для интегрируемости функции необходимо, чтобы разность между верхней и нижней суммой стремилась к нулю, и этого, по-видимому, достаточно. Строго это доказано ниже.
Смотрите также:
Методическое пособие по математическому анализу
| Понятие компактности множества | Основные свойства неопределенного интеграла |
| Функциональные определители | Определение криволинейных интегралов второго типа |
