Период формального развития теории рядов

Период формального развития теории рядов

• Период формального развития теории рядов. В XVIII веке вопрос о принципах не привлекал особого внимания, но практика серии достигла высокого развития, главным образом руками Эйлера. В начале века, в 1715 году, это самое лучшее место для начала. «Я думаю, что это будет очень трудное время», — сказал он. [X] D3X B3, B3y3x x+t AG+P T-o, увеличенное значение функции x было разложено от g до

увеличенного значения g. 1 1A-z y g5’+’: это разложение, затем, стало известно как R I d o m t e y l o R a. сам автор, по-видимому, не до конца понял свое открытие. Смысл этого выражения был раскрыт только в обширном «трактате о потоке» М А К Л Р Е Н а, опубликованном в 1742 году.Маклорин будет другим путем того же числа 27 ° 277,7°].

В качестве примера возьмем биномиальный ряд. При выводе Людмила Фирмаль

расширений других простейших функций Маклорин также использует дифференциальные уравнения, которым они удовлетворяют.280]§4. Очерки по истории серии 105 В «тезисе» есть две вещи, о которых стоит упомянуть. Во-первых, Маклорин ясно устанавливает, но только в геометрической форме, сходимость и дивергенцию положительных рядов n t e g R R L n s y p R I z n a (затем доказано аналитически, что он затем объединил известное выражениевывод * членов данного типа (независимо от Эйлера несколько лет назад) и связал сумму данных типов с суммой положительных типов). * ) Ф О Р М У Л О й Е Л Е Р А-М А К Л О Р Е Н А

называется. К сожалению, ей не нашлось места на нашем курсе. С 1730 года начинается блестящая серия работ е й Л Е Р А до бесконечных строк. Им посвящены многочисленные статьи, опубликованные в трудах Петербургской Академии Наук за более чем полвека. Давайте кратко перечислим достижения Эйлера, не следуя хронологической последовательности. Эйлер сначала оценивает экспоненциальный и логарифмический ряды с помощью неявных маргинальных переходов, исходя из бинома[cf]. 268). Точно так же он получает ряд синусов и косинусов из известных формул DL I POPs и 8 * p11g-Преобразуя бесконечный степенной ряд в нормальный

• многочлен и расширяя известное правило умножения двоичного числа с тем же первым членом на случай бесконечного числа, он получает удивительную формулу. Один. 1 + ^ + 3 2 + • • • — ‘b>1+2G+ZG+ — — — — — W и другие подобные им. Эйлер владеет и расширяет, а St^I имеет простую дробь[см. ниже,°406,3), Примечания]. Эйлер также рассмотрит ряд в сложных терминах;сравнение рядов для in x, Pop x и ex приводит его к известной формуле, которая соединяет эти признаки[n°254].]- Нефтяники сделали большую часть серии в целом. Как упоминалось ранее, он пришел к известной сумме раньше Маклорина и возвращался к ней много раз. В частности, он применил его к частичной сумме гармонического ряда[ср. °236, 1)°и Р238, 4)].

Эйлер сравнивает ряды и интегралы во многих отношениях;попутно он находит и изучает важные интегралы, которые позже получили его имя[§§§4 Глава XVIII]. Эйлер находится в контакте с Маклорином по другому вопросу: те же соображения,которые привели к его интегральной черте Маклорина, Эйлер включил сумму предыдущих серий. Из других вопросов, которые интересовали Эйлера, мы упоминаем преобразование ряда—для улучшения сходимости, преобразование в ряд бесконечных произведений[251,3 см.)].

Наконец, что особенно важно, по Эйлеру, так это найти приложения для различных рядов не только в самом анализе, но и в алгебре, Людмила Фирмаль

теории чисел и других дисциплинах. Но все эти поистине замечательные достижения не получили от Эйлера убедительных обоснований. Как и большинство его современников, Эйлер равнодушен к конвергенции и свободно использует Дивергентные ряды. Например, складывание и разборка П1 =- — — — — — П11′ 1-Р, ‘ 106ЧАП. XVI. функциональная последовательность и ряд(280 Он приходит к выводу, что существуют бесконечные ряды в обоих направлениях +1+п+»г+» 3*)+ ••• Равно 0! Аналогично, на основе равенства * ) Читатель, конечно, заметит, что значения p вообще нет. ** ) L. см. E y l e R, «метод дифференцирования»,§111. *** ) Но Лагранж высказал те же мысли, что и раньше. ^2 — =1 4-Х4-х2+х3+ Эйлер не просто выводит

отсюда линию, которая все еще занимала Лейбница с x=-1 : 1 — 1 4 — 1 — 1 + . . . =1 , Но когда вы пытаетесь понять равенство, вам 14 лет.-2 + 4 + 8 + я не уверен… = — ! , Результатом будет x=2. Однако Эйлер считает, что в таких рядах, как p A s S x o d I s и x s I, невозможно говорить о сумме в том же смысле, что и о сумме сходящихся систем, Эйлер заключает, что»сумма некоторого бесконечного ряда является конечным представлением из факторизации, что этот ряд возникает«.В этом, так сказать, постижении обобщенной»обобщенной»суммы уже есть зерно истины (и это теория современного точно обоснованного расходящегося ряда). Рассуждения, проводимые с их помощью против использования расходящихся рангов, кажутся ему

«подозрительными». Однако концепция конвергенции и дивергенции Даламбера имела»локальный» характер, связанный с тем, был ли последующий термин (в абсолютном выражении) меньше или больше предыдущего. Поэтому, согласно его терминологии, ряды сходятся в одной точке, и только потом начинают расходиться, и наоборот. 239]. В заключение остановимся на Л А Г р н Г Е-одном из крупнейших математиков рассматриваемого периода. Это дает разложение уравнения a-x+(x)=0 корень x=p, и даже произвольную функцию f (p) от этого корня. В теории аналитической функции(1797) Лагранж освободил дифференциальный метод»от рассмотрения

бесконечных или исчезающих величин, пределов или потоков» и свел его к «алгебраическому анализу конечных величин» *в этой попытке исходная точка должна была играть роль степенного ряда. D o n u s t и V функции/(x) имеют разложение/(x+/)=/(x)+ / p+Dr+gr+. . . Это не имеет значения… функция от-Х, Лагранжа непосредственно О П Р Е Д Е Л И Е Т последовательная «дифференциальная функция» (здесь термин появляется первым!) На основе обычного соотношения, через коэффициент разложения р=г ()> _(Икс) — 2-3 ‘ •••281] § 4. Очерки по истории серии 107 Исходя из этого, Лагранж мог представить не только анализ, но и его применение в геометрии и механике. Тем не менее эта точка зрения, которая в истории анализа была преддверием новой эпохи, нашла свое отражение в провале всех предыдущих

попыток строго обосновать ее. В той же работе Лагранж устанавливает хорошо известный[°106]удобный формат для официальных дополнительных условий Тейлора. Однако в случае Лагранжа этот термин является просто выражением остальной части ряда, сходимость которого подразумевается, целью которой является пренебрежение последними членами ряда. Сходимость рядов Лагранжа (как Эйлера и других современников) понималась как стремление нулевой лингва-франки. Определение суммы рядов сходимости имеет его, достаточно близкое к нам, но оно не просто заполнено, например, М А К Л О Р Е Н а(g1742.А-Р и н г а у (1776 что с

тобой не так? В своем знаменитом труде «аналитическая теория теплоты» (1811) французский математик Ф У р ы е писал:; опубликовано в 1822), что из-за сходимости ряда, член ряда не нужно»непрерывно сводить»к нулю, как мы помним, этот факт более ста лет назад сходимость ряда и его полных гармоник. это было подчеркнуто Якобом Бернулли! Таким образом, прорыв, который может быть схвачен в формальной области теории аномальных богатых рядов и едва ли был ее логическим обоснованием

Смотрите также:

Решение задач по математическому анализу

Разложение непрерывной функции в ряд многочленов	Создание точной теории
Эпоха Ньютона и Лейбница	Определение интегралов с бесконечными пределами