Площадь поверхности

Оглавление:

Площадь поверхности

Площадь поверхности. Предположим, что мы определяем непрерывное дифференцируемое представление r (u, o) рассматриваемой гладкой поверхности с замыканием B четвертичной области B. рассмотрим разбиение T Поместите плоскость переменных u и y в некоторый квадрат ранга K. Поскольку ограниченность области следует квадратичной природе области, мы можем видеть, что замкнутая область B покрыта конечным числом квадратов ранга k. , 1 = 1, 2,…И затем Рисунок 202 m = [E {. E, F. F C2 P、 Сформируйте раздел замкнутого домена O (см.§ 44.3 для определения разделов). Рассмотрим множество Ei, которое является полностью замкнутым квадратом в области B(для достаточно малого определения разбиения m такое непустое множество E1 всегда существует; почему? это не. Набор всех показанных Er набора обозначен m (dB) (по сравнению с§ 44.4). Квадратный П, ЭМ (ДП) (рис. 202).

Очевидно, что тенденция к тому, чтобы тонкость разбиения была равна 0, соответствует тому факту, что ряды исходной квадратной плоскости имеют тенденцию быть бесконечными. Людмила Фирмаль

Предположим, что длина его стороны равна k, а P-1 из вершин. И затем… 50.7.Поверхность 251. При переходе от вершины p {к соседней вершине радиус-вектор r(u, o) бесконечно меньше в более высоком порядке, чем k, и получает приращения, абсолютное значение которых равно числу| gik / и|rk/.Для р (п + к, п) р(У, в)= ^ ^ ^ перейти(к）、 Р(У, О + К)-Р(У, О)= Р» К + О(К). При определении площади поверхности замените квадратное изображение Д-Дт (до) на прямой параллелограмм, построенный с векторами Geek и rnk (рис.203).Найдите площадь такого параллелограмма. Указывать-、 D х | = / гих ГК \ Р. = / Г и Х / р К2 = = / GHKH \ Р. ЦЕИ Поскольку функция м и является непрерывной за замкнутый четырехугольник области、 Орел 2Дщ = ^ $ / R » ХГА / Yi / k \ БГ〜 * °е = м (у) о 203 (50.20)） Где bx, как всегда, представляет тонкость разбиения m.

Выбор любой точки Pr e D для доказательства справедливости равенства (50.20) / = 1, 2,…Равенство О В. Орел ДСТ = золото рд = я \ uhHG7} \ yiyo. 6Х ^ е ^ у) О На самом деле, во-первых, в этом случае предел интегральной суммы интегрируемых функций не зависит от выбора точки выбора. e ^ et, а во-вторых, удаление из интегральной суммы, соответствующей множеству{{Em не входит в m (cU)), не входит в предел интегральной суммы, как известно (см.§ 44.3), в данном случае по значению предела (50.20). Определение 19.Предел(50.20) называется площадью поверхности 5 или мерой Р5. Р5 = тю 2 °Т〜 * 0 дет(у） $50.Элементы теории поверхности 252. Для вычисления площади поверхности из (50.20) непосредственно получаем формулу = 1 хихга / Ийо. (50.21） О Перепишите его в другую форму, выражая подынтегральную функцию с первым 2-м форм-фактором.

Во-первых, для векторов a и b формула | АГТ | = | а] | б] ztab, АВ = |а|) б / co5 АБ Где ab-угол между векторами a и B. мы помещаем эти выражения в квадрат и добавляем их. с | Х&+ / О Р = в &2. Это следует IG и X p = r \ r% (гг») 2 = EO-p2, (50.22） Таким образом, выражение (50.21) также может быть записано как: \ ^ = \ \ УЭО-R2yiyo. (50.23） О Для простоты формула Y EC-P2 yy yo может быть обозначена знаком g8. Д8—/ ЕС-РГ Йи йо(50.24） И называется элементом площади. Используя эту нотацию, выражение (50.23) переписывается следующим образом: Р5 = ^ 5 А8. О Размер площади поверхности указывает на то, что она не зависит от выбора ее представления(в данном случае рассматривается только представление, определенное в замкнутой квадратичной области).Другое представление непрерывной дифференцируемой поверхности p = p (bk).

Поэтому, по сути, размер площади поверхности не зависит от выбора ее представления. Людмила Фирмаль

Это определяется в замыкании Bx в четырехугольной области, поэтому преобразование (50.14) параметра U, _p в параметр oX является нормальным отображением от O до Ox. В новой системе координат, интеграция ^ 5=$$) / » PxOx-Р \ ух аах. 50.8.Ровная поверхностная ориентация 253. Чтобы сравнить это с Интегралом (50.23), мы делаем переменное изменение (50.14). в этом случае это возможно, так как все предположения теоремы раздела 46.2 2 ’выполнены. Используйте (50.19), чтобы получить Р 1 $ = E1O1-п \ э до X = Да. Э \ О-П \ Д(ф, ф） д («О） r = [(x, y), найти выражение для площади поверхности с явным представлением (x, y) e O. In в этом случае s = x, b = y, r-(x, y, [(x, y)) и таким образом (см. формулу (50.11)）、 Ри =(1, о, F), Р =(0, 1, [г）、 E = r1=+,, P ^ГуГГ ^ YY, 0 = r ?, = 1 + Д、 ЕЦ-П * =(1 + Р) (1 + р) ч» = ч-ГХ + П(50.25） С. 5 ^ ^ 1 + Д +(ух, уу. О Упражнение. 12. Докажите, что площадь поверхности вращения, определенная в разделе 32.4, соответствует площади этой поверхности, определенной в этом разделе. 13.Найдите периметр и внутренние углы треугольника кривой выше.

Первая квадратичная форма поверхности.	Ориентация гладкой поверхности.
Кривые на поверхности. вычисление их длин и углов между ними.	Склеивание поверхностей.