Показательная функция В гл. IX мы определили функцию е? от действительного переменного у как функцию, обратную функции у = 1пх. Естественно, что мы должны теперь определить функцию комплексного переменного z, которая является обратной функции Lnz.

Показательная функция

• Экспоненциальная функция. Вы определили функцию eY действительной переменной y как обратную функцию вашего IX, функцию y = \ nx. Конечно, нам нужно определить функцию комплексной переменной z, которая является обратной к функции Ln z. Если значение определения Lnz равно C, то назовем z экспоненциальной функцией C * z = exрС. Так что, если C = Ln z, 2 = exp C. Известно, что определенные значения z соответствуют бесконечно различным значениям C.

Однако следующая теорема Так что это не тот случай. Теорема. Экспоненциальная функция exp C является уникальной функцией C Я вижу z \ = Γ \ (cos + 1 sin Gj), z2 = r2 (cos -} — i sin, оба из которых являются exp C. C = Ln z {-Ln zi Таким образом, lnrj-f-r (0t + 2m ~) = ln re + / (62 -f 2nr.), тип целое число. В сопровождении r {= ln rit G, от -f-2m до -62 -f-2nx То есть T \ = и разность -δ2 кратны 2m. Это означает, что zt = z ^. Результат. Если С реально, exp C = C ‘

На первый взгляд вероятность того, что каждому конкретному значению C соответствует бесконечное значение z, то есть exp C, не может сразу отбрасывать возможность бесконечно значимой функции C. Людмила Фирмаль

• Примеры решения задач по высшей математике

Определение LnC	Общая показательная функция
Значения LnC	Общее значение а

Примеры решения, формулы и задачи

Решение задач	Лекции
Расчёт найти определения	Учебник методические указания

• То есть IX равен фактической экспоненциальной функции C, определенной в гл. Это основано на том факте, что если r = e ~, In2 = C, то есть одним из значений Ln ^ является C. Следовательно, £ = expC. exp Значение С. C = £ + g1 z = exp C = r (cos 8 -j- / sin 6). тогда i + iri = Lnz = \ nr + Hb + 2tmz)> Где m — целое число Следовательно, = = 1n r, r = et, 6 = yj-2tk И каждый exp (6-j-iv ) = (costj-7- / sin yj). T | Sec. Как уже было замечено в 232, exp = 0, тогда exp6 = e £.

Ясно, что действительная и мнимая части exp (E-j + r) являются непрерывными функциями от $ и tj для всех значений i и tj. 234. exp C функциональное уравнение exp C, • exp C2 = eb (cos yj, 4 — sin yj,) • eU (cos r12 * sin yj2) = ^ i + b {(cos (ra -fr <2) 4-изин (Ti, 4 -ri2)} = exp (C, 4-C2). Следовательно, экспоненциальная функция удовлетворяет функциональному уравнению f (C, 4 «Cs) = / (Ci) / (C4).

Для фактических значений Cj и C2 мы уже доказали это (§213 ссылка). Людмила Фирмаль