Оглавление:
Полнота тригонометрической системы и системы неотрицательных целых степеней x в пространстве непрерывных функций
Полнота тригонометрической системы и системы неотрицательных целых степеней x в пространстве непрерывных функций. В этом разделе мы перефразируем теорему, которую мы доказали выше, и выведем из нее некоторые простые результаты. Определение 11.Путь X это интервал[a, b. он определяется в определенном наборе функций. Функциональная система (55.46） 11ф-УФГС УФГС * * * ♦ ♦ • $ 55.Тригонометрический ряд Фурье Триста семьдесят шесть Какой бы ни была функция / eX, если существует конечное число функций φ», φ » 2, φфф и такое число λ2 из системы (55.46) для каждого e, оно называется полным для множества X в смысле равномерного приближения. Привет. I /(x) [ \ )) 11 (x)+ H2φ » 2 (x) A * пп (X)] i 1e Всех Х Е [А, B].
Другими словами, если функция X может быть аппроксимирована произвольно точно конечной линейной комбинацией функций системы (55.46), то система функций (55.46) образует полную систему множества X. Людмила Фирмаль
- Используя понятие целостности системы, теоремы 7 и 8 предыдущего раздела можно перефразировать следующим образом: Теорема 7’.Тригонометрическая система (55.2) является полной в смысле равномерной подгонки для набора функций, непрерывных в интервалах[—i, z], имеющих равные значения на обоих концах. 8′. система неотрицательных целых степеней x, то есть система (55.47） Является полным в смысле равномерной аппроксимации множества всех непрерывных функций на любом интервале. Определение 12.Определите функции$и§в интервале[a, b].Число Называется среднеквадратичным отклонением интервалов [a, b] функции/функции от§*. Определение 13.Если функция f (e) имеет конечную линейную комбинацию для каждого e 0, то функция[e. функция системы такая, что среднее квадратическое отклонение интервала[a, b \от функции/меньше r (55.46).
Теорема 9.Система тригонометрических функций (55.2) является полной в смысле среднеквадратичной аппроксимации множества последовательных функций в интервале[-I, I], принимающих одинаковые значения в я И л. Поскольку рассматриваемое выражение не меняет значения, даже если * «/и§меняются местами, мы можем сказать » отклонение функции y от функции/». 55.8.Полнота тригонометрических и частотных систем х 377 Доказательство. Пусть / непрерывная функция интервала [i, i] и пусть / (i)= f(-i).Согласно теореме 7′, для e 0 существует треугольный многочлен T (x), который выглядит следующим образом: | /(х) г(х)|^, я = х Итак, для среднеквадратичного отклонения этого многочлена от функции/、 В дальнейшем мы можем видеть, что ограничение f (x)= f (x), используемое в доказательстве теоремы 9 (может ссылаться на теорему 7 ’только в этом случае), не является обязательным (см.§ 58.6).
- То есть система тригонометрических функций (55.2) является полной в смысле среднего 2-го порядка по всему набору функций, непрерывных на интервале[-1, z], и далее, в смысле среднего 2 —го порядка, интервала [I, I]квадратов. Заметим, что тригонометрическая система (55.2) не является полной в смысле равномерного приближения, то есть в смысле определения 11, во множестве всех непрерывных функций на интервале [i, z]. фактически существует тригонометрическая система, функция / которой подобна ε0 \ [(х) тр(х)\ е = /(я.) Тогда если условие Å () = (( )) к β-0/()= При аппроксимации функции в смысле квадратичного среднего треугольным многочленом особую роль играет частичная сумма рядов Фурье аппроксимируемой функции. В следующем разделе показано, что дробная сумма Порядка n является наименьшим среднеквадратичным отклонением от этой функции по сравнению с треугольным многочленом Порядка n.
Все эти обстоятельства благоприятствуют изучению аппроксимации функции в смысле стандартного отклонения. Людмила Фирмаль
- Наконец, если существует интегрируемый квадрат в интервале [-1, π]функции/, то отклонение от функции в смысле среднего квадрата ее частичной суммы Фурье 8n (x) является ограничением на смысл среднего квадрата ее частичной суммы Фурье (см. раздел 58.6).Как и в случае с теоремой 9, доказаны следующие теоремы: § 55.Тригонометрический ряд Фурье 378. Теорема 10. система неотрицательной целочисленной степени x, то есть система(55.47).является полной в смысле среднеквадратичной аппроксимации ряда функций, которые соприкасаются на произвольных интервалах. Доказательство. Продолжайте выполнение функции/с определенным интервалом[a, b].Тогда для каждого ε0, согласно теореме 8′, существует такой многочлен: \ ХХ) Р(х)-7 ^ ==а ^ х ^ б, в Б-а Откуда.
Смотрите также:
Решение задач по математическому анализу
