Понятие метрического тензора в евклидовом пространстве

Понятие метрического тензора в евклидовом пространстве

• Понятие метрического тензора в евклидовом пространстве оценка. Глава Скалярное произведение 2 и 7 Неравномерное линейное пространство может быть определено как Билинейная форма полярности некоторая положительно определенная Вторичный формат.

• В этом разделе Рассмотрено конечномерное евклидово пространство En скалярное Этот тип продукта дан в билинейной форме A (x, y). В пункте 2 предыдущего пункта (Пример 3) мы подтвердили следующее: Можно считать билинейные матричные коэффициенты Как тензорные координаты.

Эти коэффициенты для билинейных Мы A (x, y), и с этой помощью нам дают скалярное умножение в En. Людмила Фирмаль

Обозначается дц. Так что q ^ это некоторые координаты Этот тензор типа B, база ei, B2, …, ep-тензор G, 0) называется Метрический тензор пространства En. Помните координацию Тензор Gij gij определяется соотношением dc = A {bj) (8,42) (См. Уравнение (8.23)). Кроме того, поскольку форма A (x, y) симметрична, (A (x, y) = A (y, x)), тогда согласно (8.42), q ^ -q ^, то есть метрика.

Тензор G симметричен индексам i и j. x и y — произвольные векторы En, а x1 и y3 — координаты Из этих векторов для базиса ei, b2, …, ep Скалярное произведение (x, y) векторов x и y равно A (x, y). Obura Исходя из этого, перейдем к билинейной формуле (8.24), Использование уравнения (x, y) = A (x, y) дает Для скалярного произведения (x, y) векторов x и y: (X, y) = Дух * у *. (8,43)

В частности, базисный вектор e ^ и скалярное произведение (e ^, ej) ej — это то же самое, что и gij-. (E;, e ^) = qc (8,44) (Это выводится из уравнения (e ^, ej) = A (e ^, ej) и выражения (8.42). Однако формулу (8.44) можно легко получить непосредственно из (8.43). Здесь основа EI, B2, …, EN, взаимное сестренка е1, е2, …, еп. Пусть x = x ^ e и y = yj e J — векторное разложение X и y вдоль взаимного базисного вектора.

• Далее про скалярные произведения Выражение (x, y) Получает следующее выражение. (X, y) = A (x, y) = A (Xie \ Vjej) = A (e \ ej) xiyj. маркировка 9ij = A (e \ e *), (8,45) Получите следующее выражение для (x, y): (X, y) = d (8,46) Так же просто, как в разделе 2 предыдущего раздела (см. Пример 3) dxz — координата тензора, такого как @, 2). Симметрично с индексами i и j. Этот тензор типа @, 2) также называется Эн весит тензор.

Обозначается тем же символом G, который был введен Метрический тензор типа B, 0): в следующем разделе Координаты q и gli можно считать ковариантными, Контравариантные координаты одного и того же тензора. На расстоянии Возьмите эти координаты q и назовите q ковариантным Контравариантные координаты тензора G

Исследуйте проблему построения взаимосвязей в конце § 2 § 1 этой главы. Людмила Фирмаль

В качестве основы были введены величины q ^ и q% 3 по формуле (8.10). сравнить Используя эти уравнения и уравнения (8.42) и (8.45) Эти значения являются ковариантными и контравариантными Координаты метрического тензора G. В том же пункте 2 § 1 Это матрица, элементами которой являются координаты q и q \ Противоположность друг другу. Это отношения 9ij9jk = 51 (8,47) Следовательно, координата gli тензора G равна Координаты центра и наоборот (для этого Как построить инверсные матричные элементы).

Смотрите также:

• Решение задач по линейной алгебре

Примеры тензоров	Операция поднятия и опускания индексов с помощью метрического тензора
Основные операции над тензорами	Ортонормированные базисы в En