Понятие обратной функции

Понятие обратной функции

• Понятие обратных функций. Дайте функцию y=/(x)отрезку[a,6], и пусть отрезок[a, 0]является набором значений этой функции. Далее, каждому y отрезка[a, 0] соответствует только значение x отрезка[a, B], а DX)=»/. Затем в отрезке[a, 0]определяется функция, соответствующая

каждому y из[a, 0], и значение x из[a, 6] равно/(x)=y. В приведенном выше рассуждении вместо отрезков[a, 61 и[a, 0] может быть рассмотрен интервал (a, B) и (a, 0), или, например,

может быть рассмотрен один или другой из этих интервалов. Учитывая Людмила Фирмаль

отображение/между одним множеством{x}и другим множеством{y}, а также наиболее распространенный случай отображения / установления взаимно однозначного соответствия между элементами этих множеств, теперь мы можем определить обратное отображение / _1 множества{y}на множество{x}. В этом случае

уравнение g/=/(x) можно решить относительно x, то есть можно однозначно определить x, зная элемент y, и%=/ -!( » /). Если X=/ _1 (g/) является обратным Y=HX) > очевидно, что функция g / = / (x) является обратной функции x= = 1-1( y), поэтому функции y= / (x) и x= / -‘(g/) называются z, но o b R A t n s M I. очевидно,/[/»‘(y) ] = */, /_1 [/(x)]=x.

• Приведен пример функции взаимной инверсии. 1. Дайте функцию y=2x отрезку[a, 6]. Набором значений для этой функции является отрезок[2A, 2H]. Функция х=(г/)=. [2A, 26] Если определено, то данная функция u-2x.It будет обратным 2. Рассмотрим функцию y=x2 для отрезка[0,2]. / Набор значений в этой функции является сегментом[0,4]. В этом отрезке определяется обратная к заданной

функции x=Y Y.134CH 4. Непрерывность функций 3. Рассмотрим отрезок [0,1], функцию x, если x-рациональное число, и 1-x, если x-иррациональное число. Если Y рационально,то отрезок[0,1]задается функцией y, если y иррационально, то[1-y. он будет обратным данной функции. Докажем некоторые описания монотонных функций.

Мы начинаем с доказательства леммы, проведенной против любой монотонной (не обязательно строго монотонной) функции. Если Людмила Фирмаль

функция [(x) монотонна в отрезке[a,&], то любая внутренняя точка отрезка[a, 6] имеет правый и левый предел, плюс точка a имеет правый предел, а точка B имеет левый предел. Д О К а з а т е л ь с Т В О. для полного доказательства леммы достаточно доказать два факта: 1) существование правого предела c в любой точке удовлетворяет неравенству a0. По определению, точная нижняя сторона находит положительное число b, которое не превышает B-C, так что значение

функции/(C-G b) удовлетворяет неравенству/(C+b)y. Фактически, в случае xy справедливо для такого X. Теперь давайте убедимся, что C-это точка отрезка[a,&]. У нас есть<&. Все элементы x » находятся слева от C, и для каждого числа n / (XY)^y, следовательно (теорема 3.13 Глава 3), и t/(XY)00 * Оро- * Фактически, в случае x+C значение DX) удовлетворяет неравенству D x)^C значение DX удовлетворяет неравенству/(c+0)^D x) (4.2′). С другой стороны, CPy(для любого числа n). Но благодаря теореме 3.13

Смотрите также:

Методическое пособие по математическому анализу

Монотонные функции	Показательная функция
Теорема о нуле производной	Отсутствие разрывов первого рода и устранимых разрывов у производной.