Понятие условного экстремума

Оглавление:

Понятие условного экстремума

Понятие условного экстремума. В открытом наборе Ай! = D-（）、1 = 1、2、…Т (43-1） х =(х {,…ЭО, рН).Все функции/ = 1, 2,…множество точек, где, m, исчезает^обозначается через E. E = {x. u (x)= 0, » = 1, m, x> 0. (43.2） Уравнение ）、■（）= 0、1 = 1、2、…. Т (43.3） Это называется уравнением связи. 43.1.Понятие условных экстремумов Девяносто три Определение 1.Дайте функции y -} o (x) значение 0.Точки x (0) e E-точка обычного экстремума этой функции, если она рассматривается только в множестве E, то она называется точкой полюса условия * функции/ 0 (x) относительно (или когда она выполняется) уравнения связи (43.3) (см.§ 40.1). Другими словами, здесь значение функции / 0 (x) точки x сравнивается не со всеми значениями в достаточно малой окрестности этой точки, а только со значениями указанной достаточно малой окрестности и точки, принадлежащей множеству E.

в случае нормальных экстремумов можно естественно рассматривать точки условного экстремума естественно и строго условного экстремума. Людмила Фирмаль

Образцы. 1.Рассмотрим особенности f (x, p)= x2 + y3 (43.4) и уравнение связи х + г / −1 = 0. (43.5） Если уравнение ограничения (43.5) выполнено, найдите условные экстремумы функции (43.4). Из (43.5) получаем y = 1 — x. /(х, 1-х)= 2×2-2х +1. Итак, если ограничения выполнены, то функция (43.4)будет функцией от 1 переменной. Его экстремум является базовым. Рассмотрим его производную как ноль(обязательно Экстремальное значение условия), получаем 2x-1 = 0, но x = y. В этот момент рассматриваемая функция, очевидно, имеет минимум (многочлен 2-го порядка с положительным коэффициентом предыдущего члена).

Значение x = y по уравнению соединения (43.5). соответствует р = г. 1. таким образом, в точке (1/2, 1/2) функция(43.4) будет наименьшей по отношению к уравнению связи (43.5).Геометрически это означает, что точка параболоида r = x2 + y0-которая проецируется в точку (1/2, 1/2), является самой низкой из всех точек над линией (43.5) (рис.157).Этот пример показывает, что точка, в которой функция достигает условного экстремума, то есть, вообще говоря, экстремума этой функции. * Также принят термин «относительные экстремумы». $ 43.Условные экстремумы 94. 2.Рассмотрим функцию/(x, y) y% x2 и уравнение связи y = 2x. [(x, 2x)= 3×2, то есть, когда уравнение ограничения выполнено, рассматриваемая функция также является функцией переменной 1, которая, очевидно, достигает минимального значения при x = 0(рис.158).

Согласно уравнению соединения, значение x = 0 соответствует значению y = 0, поэтому функция [(x, y)= y2-x2 имеет условное минимальное значение в точке (0, 0) относительно уравнения соединения y-2x. В В этом случае функция[(x, y) сама по себе не имеет ни максимального, ни минимального значения в любой точке plane. So, В будущем、 1) все функции D, D, D непрерывно дифференцируемы в открытом множестве O. 2) точки л4°(вектор UD, UD линейно независим, то есть ранг Якобиана равен M—числу строк(строки матрицы Якоби является градиент УД… УД компонент). Согласно результатам предыдущего раздела, это означает, что функцией системы (43.1) является точка x (0K, в n-мерном пространстве 43.1.

Понятие условных экстремумов 95. больше, чем n линейных независимых векторов, ранги Матрицы не могут быть больше, чем число столбцов. Условие 2) означает, что это m> n. Условие 2), по крайней мере 1 определителя точки x (0), в виде д(!И•••,/ П) Д(Х11• * * ’x1t） Она отличается от нуля. Для ясности, точка x(0 (43.6） д(?И■••/ т)/ п д(Х1, хм)^ Тогда, благодаря теореме о неявной функции (см.§ 41.3), система уравнений в окрестности точки xy (43.3)-(xT,…фφ0) может быть решена относительно переменных… ХТ. (43.7） Х1-Ф1(Хм + у•■•) хы） ХТ-фут(ХТ + 1■•-у/) ■ V =} значение x1, заданное в уравнении o (x) (43.7)…назначить хм. То есть функции/ 0 и cp …. учитывая конфигурацию ПМ, получаем функцию. Г / о (φ1 (±хм 1″»* * ХL),…Х) р (Xn1. 1,…Xn), Xn; 1,… * Икс /、） −8 (Хп) (1хп) (43.8） N-M.

Приведенные примеры показывают, что функция может не иметь экстремумов, но в некоторых уравнениях связи она может иметь условные экстремумы. Людмила Фирмаль

Переменная xm + u …xn, определенный, может быть непрерывно дифференцируемым в окрестности точки x «» = (C + b … …. x’N) в (n-m)-мерном пространстве Kn-m. Согласно теореме о неявной функции, условия (43.3) и (43.7) эквивалентны, поэтому справедливо следующее утверждение: Точка x 0 является точкой экстремума (точного) условия функции[0 (x) относительно уравнения ограничения (43.3) только в том случае, если x {0 является точкой нормального (точного) экстремума функции (43.8). Если 5c°является точкой нормальных экстремумов функции§, то это стационарная точка этой функции (см.§ 40.1). Д§(х (0))=0.(43.9)） Напомним, что производная является линейной однородной функцией, и ее равенство достаточно.

Понятие зависимости функций.	Метод множителей Лагранжа для нахождения точек условного экстремума.
Достаточные условия зависимости функции.	Геометрическая интерпретация метода Лагранжа.