Предельные точки числового множества. Открытые и замкнутые множества
Множество вещественных чисел , удовлетворяющих неравенству
, т. е.
, называется
-окрестностью точки
.
Множество вещественных чисел , удовлетворяющих неравенству
, называется проколотой
-окрестностыо точки
(точка
исключена из своей
-окрестности).
Геометрически -окрестность точки
есть интервал
длиной
, серединой которого является точка
числовой прямой.
Точка называется предельной точкой множества X, если в любой
-окрестности точки
находятся точки из X, отличные от
. Предельная точка может как принадлежать, так и не принадлежать множеству X.
Точка называется изолированной точкой этого множества, если в достаточно малой ее
-окрестности нет точек из Z, отличных от
.
Точка называется внутренней, если существует некоторая
-окрестность этой точки, целиком содержащаяся в множестве X.
Множество, все точки которого являются внутренними, называется открытым’, множество, содержащее все свои предельные точки, называется замкнутым. Открытым множеством является, например, интервал , замкнутым множеством — отрезок
.
Точка называется граничной точкой множества X, если любая
-окрестность этой точки содержит точки, как принадлежащие множеству X, так и не принадлежащие ему. Множество всех граничных точек множества X называется границей этого множества. Например, если
, то все точки интервала
являются внутренними точками множества X, а граница этого множества состоит из двух точек:
.
Если множество X представляет собой область (открытое множество), то множество , полученное присоединением к X всех граничных точек этого множества, называется замкнутой областью.
Эта лекция взята со страницы лекций по предмету математический анализ:
Возможно вам будут полезны эти страницы:
Логические символы в теории множеств |
Грани числовых множеств |
Функция |
Способы задания функций с примерами |