Оглавление:
Преобразование общего уравнения гиперповерхности второго порядка при переходе от ортонормированного базиса к ортонормированному
- Преобразовать общие уравнения гиперповерхности Переход второго порядка из ортонормированного базиса Ортогональным. Ортонормированный базис {e &} pre- Новый ортонормированный базис {ej согласно уравнению G.70. } Формируется) P — ортогональная матрица этого преобразования (см. G.71).
- Тогда Согласно комментариям в пункте 2 этого раздела, координаты Xk и x’k точно База {e &} и {e ^} ki связаны соотношением G.75. замена Xk уравнение от G.75) слева от G.66) G.75), старшая группа по однородности отношений Член и линейная часть уравнения G.66 преобразуются автономно, Получите следующее общее уравнение гиперповерхности.
Вторичная координата x’k точка после преобразования Основы {e’L: н н ? a’jkx’jX’k + 2? B»kh’k + s ‘= 0. G.86) Людмила Фирмаль
Согласно вышеуказанной группе конверсионной автономии Справедливое равенство старших членов / j ^ ik ^ i ^ k- / v ^ jk ^ j ^ k? / v ^ / s ^ / s ~~ / v «khk-> C-C. Глядя на первое уравнение G.87) Деление коэффициента a’k дает предварительную Формирование квадратичных коэффициентов при переходе на новые. Му базы. Другими словами, буква А обозначает квадратичную матрицу.
Форма A (x, x) базиса {e ^} согласно теореме 7.2 и соотношения P ‘= P ~ r, между матрицами A и A’ получается следующее соотношение Форма A (x, x) с основаниями {e ^} и {e ^}. A1 = P к HAR G.88) (Помните, что P является матрицей ортогонального преобразования). Теперь рассмотрим матрицу A как несколько матриц. Линейный оператор A базиса {e ^} 10) и матрицы P ~ 1 в качестве матрицы Переход от базы {ек} к базе {ек}.
Тогда согласно теореме 5.7 (См. Подраздел 2 главы 5, §2), матрица A может считаться этой матрицей. Линейный оператор A базиса {e ^}. Другими словами, квадратичная матрица Ортонормированный базис меняется на ортонормированный базис Как матрица линейных операторов. Мы будем использовать этот вывод в следующем разделе. Замечания.
- Оператор А есть Нормализованный базис соответствует матрице квадратичной формы Мы A (x, x) самосопрягающиеся. Чтобы доказать это, мы выполним следующий вывод: A (x, x) является квадратичной, а A (x, y) симметричной Билинейная форма, полярная форма A (x, x). Согласно теореме 7.8, Билинейная форма A (x, y) может быть выражена как A (x, y) = (Ax, y), Где A — самосопряженный оператор.
Следовательно, квадратичная форма A (x, x) имеет вид В форме A (x, x) = (Ax, x). Матрица операторов с ортонормированным базисом {e ^} PA A и соответствие второго формата. Это доказывает Жду комментариев ctjk является элементом матрицы вида A (x, x), а djk является элементом Матрица оператора A с базисом {e ^}.
Согласно пункту 1 статьи 2 настоящей главы ^ — 10) Людмила Фирмаль
Согласно теореме 5.5 (см. Подраздел 1 главы 5 § 2) квадратная матрица из n Строки и n столбцов можно рассматривать как линейную матрицу Оператор, работающий в n-мерном пространстве. = A (ej, e /,) и элемент djk, согласно подразделу 1 главы 2 2 формулы E.13), Можно найти из уравнения Aej = Y ^ = i®jpep- Умножьте e & по обеим сторонам последнего отношения на скаляр. тогда Получить (Ae ^, e ^) = a ^ с учетом ортонормированности базиса {e ^}. Поскольку A (ej, e ^) = (Ae ^, e ^), a ^ = a ^. Принятие комментариев Проверенная.
Смотрите также:
