Принцип наименьшего действия и его применение

Оглавление:

Принцип наименьшего действия

Этот принцип, который не так распространен, как принцип Гамильтона, может быть применен к движению систем, в которых связь не зависит от времени и подвергается действию силы с функцией силы U. Принцип минимального действия представляет геометрические свойства системы, независимо от понятия времени. Пусть t кинетическая энергия системы. Примените кинетическую энергию ударов и включите i. вовремя, вы получите, что U не содержит t. Ай мвт. Положение системы, которая считается голономной is……..It зависит от геометрические параметры, зависящие от QX, q2….. qх. Координаты x, y и r любой точки системы представляются в виде функции параметра, не содержащего.

Обратите внимание, что это не зависит от соединения От k нет Движение Для получения бесконечно малых перемещений системы эти параметры называются dqt, dq2,…. достаточно изменить его на dqk. После этого x, y, r получат инкрементные dx, dy, dz. Поставь ДС = 2Т dxfi + рфы + ДЗ Здесь сумма распределяется по всем точкам системы по формуле функций dqv dq2, dqk. У нас есть Тиковый формат для этих различий Обмен ДХ, ду, ДС, ДЗ Квадра РФС = 2 d4i собирает Мос d4j ИЖ = Хиль Где коэффициент xy функция параметра qv q2,…. дь.

Мы займемся сейчас вычислением кинетической энергии тела и главного момента количества движения различных точек тела относительно неподвижной точки О. Людмила Фирмаль

Кинетическая энергия y равна и Интеграл энергии Она написана следующим образом: РФС dt 2 Кроме того, мы предполагаем, что энергетическая постоянная а имеет определенное значение. Где: qfo, q ,…, qk 0 и, ,, В2. Qk рассмотрим 2 положения системы Po и Pt, соответствующие значению параметра t. С чисто геометрической точки зрения, система может быть преобразована из одного положения в другое в бесчисленном количестве ways. To получите 1 из этих методов, используйте qt, q2,…. достаточно представить qk в виде непрерывной функции параметра K.

Кроме того, если X = Xo, координаты q принимают значение q o. 8 0,.. k соответствует положению O Po, и если X = X2, то значение 7, 2 я R соответствует положению P2, и когда X непрерывно изменяется с Xo на Xx, система непрерывно перемещается из первой позиции во вторую позицию. Как переместить систему из положения Po Понятие геометрии позволяет использовать qv q2…… дь можно рассматривать как координаты точки в измеряемом пространстве. В свою очередь, позиции P1 и P2 принимаются за координаты q q ….И Q , К2………. Из точек, определенных в соотношении 2, Когда X изменяется с Xd на Xb, существует кривая C, соединяющая обе точки Pa и Pk.

Тогда действие от Pb до Pi вдоль кривой C является интегральным R. A = J V2U + 2hdS, P, Взятый вдоль этой кривой. гв К2,….Вопрос борьбы с QR В2…. предположим, что мы обозначаем производную 1 го порядка от qk, поэтому здесь точка на q Вдоль кривой C производится производная по отношению к X. в Qt, К2,…. дь это функция ДС = П20d4 d4i собирает и = в я Эй ли 4 с dq, = ft X, и так далее, в квадратичной форме IV 1 rS И затем… А = F уть + ihVWtA. Каждая кривая соединяет точки как Po, так и P, то есть функции A, D …. При определенном выборе параметра это действие имеет определенное значение.

Принцип наименьшего действия заключается в том, что если мы посмотрим на кривую C/ Где нам нужно соединить обе точки так, что интеграл минимален, мы видим, что эта кривая является 1 из траекторий, что система действительно движется, когда: скажите ей, что движение от ПО для достижения Р, так что энергия постоянна равна L. В такой постановке локус называется кривая, определенная последовательность фут в пространстве к измерений и FT ценностей.

Соответствует действительному движению системы под действием заданной силы в силовой функции U Формула функции K для минимизации интеграла a qt, q2,…. чтобы найти qk, вам нужно написать, что QR q2, qk, когда вы получаете бесконечно малые изменения, интегральное изменение 84 равно нулю. 8ft, 2 k k0t0rye произвольная функция X. Ноль в Хо и XT. Это последнее условие qv q2,…и от того, что компания заблаговременно. Когда Qt Изменение Описывайте только термины, содержащие вариации параметра ft. Остальные члены индекс 1, индекс 2 и индекс 3…It получается путем замены его непрерывным. А. 8 футовые, 8 футовые, выполнение преобразования… Частичная интеграция терминов Л д с Я Так…

Легко выразить девять косинусов в функции углов 6, останавливаемся здесь на выводе этих формул, которые можно всех курсах аналитической геометрии. Людмила Фирмаль

Часть интеграла, включая IQ, описывается следующим образом: CV2U + 2В дБ 20 Ди = Я Y2u + 2ч де l, за Фольксваген + 2iT де Дж 20 ди джей 20 и DQ, Дж После замены предела интегрируемая часть исчезает, так как в этих пределах вариация bq равна нулю. То же. Остальные члены также преобразуются. Возьми 20 dTs 2 7 + 2L d4i Теперь напишите термин, который является фактором 8jt. Для Потому что интеграл это самый маленький, ничтожный функции иqt, lq2…Что бы это ни было, M должно быть равно нулю. И так оно и есть. Коэффициенты этих вариаций должны быть исключены отдельно под знаком integral.

Чтобы получить кривую, минимизирующую Интеграл, мы получаем K уравнений, а оттуда пишем только первое уравнение. 20 dU 2 7 + 2L d0 2t7 Ф 2я 1 20 Эти 2 ступенчатые дифференциальные уравнения определяют функции qt, q2, Chk. To определите интегральную константу, используя параметр qlt q , для X = Ao…. компания заданного значения 2 o. для Q и X = Xt эти параметры являются Заданное значение fth q2,… .Но теперь мы видим, что уравнение 3 точно определяет траекторию движения системы в реальном времени. motion. In фактически, заменив независимую переменную, она сводится к уравнению движения в Лагранжевой форме. Замените X другой переменной, определенной отношением.

Двадцать ДТ = г в ДК 2У + 2л 4 гв…. Q производная от qi, q …. О ЧК Т. Впусти меня. 4 х ААА ч м Очевидно, что у нас есть jj может быть подтверждено вычислением. Заменить уравнение 3 уравнением 5, dX dt значение y. Уравнение выглядит так: Оказывается. Д х я 4 эти 6 уравнение Лагранжа. выражение, что h является энергетической константой, имеет 20 dX = dS в силу и из выражения 4 Полученное уравнение ДС ДТ Г2 + Это действительно Интеграл энергии. Таким образом, теорема доказана. Кривая, минимизирующая поведение интервала от Po до Py, является 1 из фактических траекторий, соединяющих эти 2 точки, и при движении по этой траектории постоянная энергии равна h.

Принцип Гамильтона. Принцип наименьшего действия	Геодезические линии
Вывод уравнений Лагранжа из принципа Гамильтона	Вычисление действия вдоль траектории

Если вам потребуется заказать теоретическую механику вы всегда можете написать мне в whatsapp.