Оглавление:
Признак равномерной сходимости интегралов
Признак равномерной сходимости интегралов. В этом подразделе мы докажем критерий равномерной сходимости интеграла, а также соответствующий критерий равномерной сходимости ряда (см.§ 36.3). Теорема 3.Если функции f (x, y) и g (x, y) являются a> x .\co и y (предположим, что a конечен и У определяется как числовое множество. Идентичность), а функция f (x, y) непрерывна в переменной x、 §{x, y) имеет непрерывную производную по отношению к x〜|.Если 1) функции§(x, y) имеют тенденцию быть монотонными в x согласно y> Y и нулевыми как X-oo равномерно в множестве Y. д 2) Интеграл \ xx, y) qx ограничен в зависимости от переменных Но… 1]e [a, oo) и y [bU] множества [a,+ oo) xy, то Интеграл ОО 5ё (хУ) КХУ (54-7). Установите u, чтобы сходиться равномерно.
Таким образом, выполняется условие Коши равномерной сходимости интеграла. Людмила Фирмаль
- Доказательство. Любые η ’ и эта ’, и с».Согласно 2-ой средней теореме интеграла (см. раздел 30.3*), уравнение П » Y) HX, Y) Lx = = я (, н’.Г)\ [(х, г) ДХ +§(Т)«, Г) 5 /(Х, У)ух,(54.8)Д-6 Здесь м / е м]. В силу условий теоремы 2), для всех (mv) e [a,+ oo) x существует постоянная M 0, которая равна g = M. ^ /(х, г) УГ д ’ д’ \ [(х, г) ДХ + ^ 1(х, у) ух } (х, г) ДХ Л’ + \ [(х, у) ах = 2М,(54,9） Но… Точно так же (54.10)） Исправить любые ε0.Функция g (x, y) стремится быть равномерно нулевой в множестве Y, x + oo, например$ 54.Некорректный Интеграл в зависимости от параметров Триста десять M) 8 A присутствует такой, что все x m \ E все (54.11） г)1 Используя неравенства (54.9), (54.10) и(54.11), вы получаете оценку для любых μ’m) e и μ «m) e из (54.8). Х » Х * $} (х, г) ух ％ 5 /(*.Г)ЛК северный’ 5 е(х, г) х, г) У-Х ^ 2М ^ + 2М ^} = е. (54.7) (см. раздел 54.1). Ноль Замечание. Вы можете оценить
- Однако это удлиняет доказательство и по существу повторяет аргумент, удерживаемый 2-м доказательством теоремы о среднем. Тот факт, что функция по (X, Y) имеет непрерывную производную по отношению к X, не является обязательным и вызван только тем, что 2-я средняя теорема в§ 28.3 *была доказана в этом предположении. 4 *и Образцы. Интеграл^ * r + x * сходится равномерно следующим образом: Один Y ^ y0 0-фактически, потому что функции y (x) TT02 уменьшаются на x ^ \и т§§(x)= 0, а§(x) не зависит от y、 ДГ* + ОО В свою очередь, тенденция для§(x)к нулю как x + oo происходит равномерно по отношению к y. далее х ^ 81P ебать _ 1-Совсо _2 У У а.
Интеграл в левой части уравнения, не полагаясь на 2-ю среднюю теорему, а затем действовать аналогично доказательству критерия Дирихле, чтобы интегрировать его в часть. Людмила Фирмаль
- Таким образом, выполняются оба условия теоремы 3. Проблема 32.Функции f (x, y) и§(x, y) 4″и wa =xx +ω и y e V; кроме того, Интеграл/ / (x, y) xx Но… Сходятся к Y, и функция§(x, y) монотонна в x, ограничена в множестве. 4 * CO [a, / co) xy, то Интеграл)$(x, y)} {x, y) xx сходится равномерно к Y. 54.3.Характеристики параметрических интегралов Вверх Упражнение. 7.Предположим, что функции}(x) и k (x, y) смежны в x, которая является функцией F. стремится к монотонно и равномерно нулю относительно (x, y) y = K X-как»+ c», непрерывная производная x ^ a, y e V、 + 00-| −00 И Интеграл / / (x) yx сходится. Интеграл (/( * ) 8 (x, y) хχχ Но、 Множества U сходится. Исследуйте равномерную сходимость интегралов. Ноль ноль 8. ^ е-ах ~~(а ^ 0,р ^ 0、 Ноль ноль С \ х \ п х 9.1 xAxAx для / 3 = 0, ^ 5 = 0、 Г.
Смотрите также:
Решение задач по математическому анализу
