Оглавление:
Производная сложной функции. Полная производная
Пусть — функция двух переменных и , каждая из которых является функцией независимой переменной : . В этом случае функция является сложной функцией одной независимой переменной ; переменные и — промежуточные переменные.
Теорема 44.4. Если — дифференцируемая в точке функция и и — дифференцируемые функции независимой переменной , то производная сложной функции вычисляется по формуле
Дадим независимой переменной приращение . Тогда функции и получат приращения и соответственно. Они, в свою очередь, вызовут приращение функции .
Так как по условию функция дифференцируема в точке , то ее полное приращение можно представить в виде
где при (см. п. 44.3). Разделим выражение на и перейдем к пределу при . Тогда и в силу непрерывности функций и (по условию теоремы — они дифференцируемые). Получаем:
т.е.
или
Частный случай: , где , т. e. — сложная функция одной независимой переменной . Этот случай сводится к предыдущему, причем роль переменной играет . Согласно формуле (44.8) имеем:
или
Формула (44.9) носит название формулы полной производной.
Общий случай: , где , . Тогда — сложная функция независимых переменных и . Ее частные производные и можно найти, используя формулу (44.8) следующим образом. Зафиксировав , заменяем в ней соответствующими частными производными .
Аналогично получаем:
Таким образом, производная сложной функции () по каждой независимой переменной ( и ) равна сумме произведений частных производных этой функции () по ее промежуточным переменным ( и ) на их производные по соответствующей независимой переменной ( и ).
Пример №44.5.
Найти и , если , , .
Решение:
Найдем ( — самостоятельно), используя формулу (44.10):
Упростим правую часть полученного равенства:
т.е. .
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
Применение полного дифференциала к приближенным вычислениям |
Дифференциалы высших порядков |
Инвариантность формы полного дифференциала |
Дифференцирование неявной функции |