Оглавление:
Производные высших порядков от сложных функций, от обратных функций и от функций, заданных параметрически
Производные высших порядков от сложных функций, от обратных функций и от функций, заданных параметрически. Предположим, что функция y = y(x) имеет 2-ю производную в точке x, а r = r(y) имеет 2-ю производную в точке y = y (x).Тогда комплексная функция r [y (x)]имеет 2-ю производную от x = x、 Фактически, поскольку производные y «(x) и 2 » (y) существуют, существуют также y ’(x) и 2’(y). таким образом, функции y (x) и 2 (y) непрерывны в точках x и y, respectively. So, в некоторой окрестности точки x определяется комплексная функция 2 = 2 [y (x)].Если вы дифференцируете его и опускаете обозначение аргумента для простоты, то r’x = r ’ yy’x1 снова дифференцируется относительно x.
Этим методом мы также можем доказать существование и найти производную более высокого порядка от обратной функции. Людмила Фирмаль
- При соответствующих допущениях высшие производные комплексных функций вычисляются как well. In Предположим, что функция y = y(x) непрерывна и строго монотонна в окрестности точки x (см.§ 9.6）、 если x = x, то производные y ’и y ’и y’ (x) Φ присутствуют. Тогда обратная функция x = x (y) имеет 2-ю производную в точке y = y (x) и может быть Далее представлена производными y ’и y’ ’функции y (x) от x = x. На самом деле, как упоминалось выше, согласно теореме 4 в§ 9 (см.§ 9.6), если вы опустите обозначения аргументов, то x’y = 1 / y’X.
- Если вычислить производную по отношению к y обеих частей и применить правило дифференцирования сложных функций справа, то: Аналогично, при соответствующих допущениях для обратной функции вычисляются производные более высокого порядка. То же самое можно сделать и для так называемых параметрических определений задач. Определение 3.Предположим, что мы определяем функции x = x (’) и y = y (’) в окрестности точек, и 1 из них, скажем x = x ( ’ ), непрерывен и строго монотонен в указанной окрестности. Тогда существует обратная функция x ( ’ )’ = ’(x) и соединение y (’(x)) имеет смысл в окрестности точки x = x (’). эта функция y в x называется выражением определения параметра x = x ( ’), y = y ( ’ ) функция.
Выводит формулу для различения параметрических определенных функций. Если функции x ( ’) и y ( ’) имеют производные в точке’, а x ( ’ ) Φ, то параметрически определенная функция y (’(x)) также имеет производные в точке x = x (’)、 (1.5） На самом деле, согласно правилам дифференцирования сложных функций, это выглядит так (опуская обозначения аргументов） (1.6） По правилу производной обратной функции Из уравнений (1.6) и (1.7), за которыми следует уравнение (1.5). Далее, Если x» (<sup class=»reg»>®</sup> и y » r (g) присутствуют, по существу.
Также вычисляются производные более высокого порядка параметрических определенных функций. Людмила Фирмаль
- В качестве примера рассмотрим параметризованную функцию График показан на рисунке 48.To уточните, a; функция x <sup class=»reg»>®</sup>= a (r-81n r) строго возрастает. Конечно, пусть ГД. Я это заметил. Это означает строгое монотонное увеличение функции x <sup class=»reg»>®</sup>.По этой причине уникальная обратная функция R = = r (x). кроме того, x’R = a(1-soe r)= 2a 8_n^, y ’= a 8_n r и x’R r = 2kk, V=, ±1,±2, … он исчезает только в терминах своей формы. Таким образом, в случае r ^ 2kk, согласно правилам дифференцирования параметрически определенных функций.
Смотрите также:
| Производные высших порядков. | Дифференциалы высших порядков. |
| Производные высших порядков суммы и произведения функций. | Теорема Ферма. |
