Пространство L2

Оглавление:

Это изображение имеет пустой атрибут alt; его имя файла - image-10-1.png

Пространство L2

Пространство L2. Напомним, что линейное пространство последовательных функций в интервале[c, b] со скалярным произведением, определяемым формулой (57.30), обозначается Cb2 [a, b] (см. Пример 3 в§ 57.8). Определена норма пространства CX2 a, b. Лемма 13.Пространство SP [a, b] это не Гильберт. И (Х)= Никакая функция 1 случай Если 1 случай Proof. To убедитесь, что пространство Cb2 [a, b \не является полным, достаточно рассмотреть пространство Cb2 [a, b]через регулярные промежутки времени(почему? это не.[-1 для уточнения сегмента. 1]и C2 [-1, 1]примеры основ эст. Поставь (57.34)） Один n = 1, 2,… (Рис. 225).Очевидно, функция?/(X), n = 1, 2,…непрерывно в интервале[-1;. ！] * Далее Примечание| / (x) / 1, мы имеем т р 1 1/4 11н -!Т = \ un(х) -!М(х)\ 2 х = ^ / / я(х)-[м(х)| 2(1.X = D −1-1 / я 1/4 1/4 1/4 ^ ^ [!/ Я (х)\ [!m (X)] 2-й. Х ^ А ^ *1 / я-1 / я 57.10.Пространство б Четыреста пятьдесят семь Отсюда становится ясно, что последовательность (57.34) является фундаментальной в пространственном Cb2 [a, b].

Тогда, если последовательность сходится в смысле квадратичного среднего, естественно ожидать, что она сходится в нем. Людмила Фирмаль

Фактически, учитывая ε0, если вы выберете α0, чтобы быть ε/a0e для всех n-α0 и mn для всех mn, вы получите / m | О, да. е. После −1е^ X, 1, 0、 если x = 0, ТО 0、 1 в 0 * ^ 1、 Эта же функция, в частности, сходится с функцией пота (см. рис.226).Ага. Один −1 при −1 cC x 0、 / (*»»0 для x = 0, r r В ОС 1 * = 6 ^ 1. −7 9 1 X Однако эта функция / разрывна, поэтому она является[φC22 [0, 1].Поэтому, естественно-1 Если последовательность{/«}равна Существует ограничение в пространстве C2[a, 6].Рисунок 226 Покажи мне. Легко видеть, что последовательность (57.34) сходится к интервалу [-1. 1] значение функции / семинора (57.31).Конечно. 1 1 / л | //«П *)= 5 \ НХ)-г(х)\ r4x = $ !(Х)-[Р (Х) 12 (1Х ^ −1 −1 / л + 1 / л + 1 / л ^ ^ [I /(x) 1 + 11n(x) / 2] yx 4 ^ yx = ^ + 0 как n » oo、 −1 / л ’ 1 / л Потому что| /(x) / ^ 1,| / (x) 1, XE [-1, 1]. (57.35)） Предел половины нормы не является уникальным, что вызывает проблемы.

Существуют ли также непрерывные функции. Это также предел последовательности {/ » } в смысле квадратичного среднего. Указывает, что такой функции не существует. Скажем, наоборот. Предположим, что существует непрерывная функция§(x) в интервале [-1, 1], как показано ниже: Hm / $ Ы= 0.(57.36)） * ’/Больше не является непрерывной функцией, поэтому здесь есть знак!. Ф!/ Мы уже показали Семинол функции p (57.31).Это следует учитывать при рассмотрении будущих вопросов. § 57.Функциональное пространство 458. И затем… И-$ \ = n [1n)+(?Н-8)\ ^ м[н \ + \ [н-8 \、 Из-за (57.35) и (57.36) оба члена на правой стороне стремятся к нулю как ω, поэтому левая сторона не зависит от n、 5 \ Hx) ё (x)\ 2ax =C § ^ = 0; −1 В дальнейшем $ 1) −8 (х)\ ‘до н. э.= 0、$ | /（）-（х) / РЧЦ =0.(57.37)） −1 о Например, рассмотрим случай x’ r0.Поскольку функции/и§непрерывны на интервале (0, 1), они совпадают на этом интервале (57.37) (см. СВОЙСТВО 9 определенного интеграла§ 28.1)… §(4 * 0)=золото§(x)=золото 1 (x)= 1 *-+0 *-►+（） Аналогично, если принять во внимание случай x = ^ 0, то B (-0)= Fri /(x)=-1. * —О

Другими словами, это дискретная функция. Это противоречие подтверждает утверждение. Людмила Фирмаль

Ноль Таким образом, линейное пространство Cb2 [a, b] не является совершенным. Однако мы знаем, что пространство перед Гильбертом можно дополнить до complement. In в частности, вы можете сделать это в рассматриваемом пространстве. Чуть позже мы вернемся к этому вопросу, но рассмотрим еще 1 пространство. Он принимает функцию более широкого класса, чем непрерывная функция. То есть мы строим линейное пространство Hb2[a, b] функции интегрируемого квадрата на некотором интервале [a, b] (см. Пример 3 в§ 57.8) из Формулы (57.30), это пространство со скалярным произведением. Определение 38. 2 функции [и§, имеющие интегрируемые квадраты в интервале[a, b], называются равными, если семинор (57.31)разности между ними равен нулю. И〜B \ = y \ [Hx) ё (x)]2хх = 0.(57.38） Равенство функций в смысле этого определения、 1-в-(57.39） 57.10.Пространство б 4. $ 9 В этом случае использование одного и того же символа, используемого для асимптотического уравнения функции, то есть для обозначения ее эквивалентности в смысле порядка изменения (см. Определение 8.2 из 5), не вводит в заблуждение. Речь идет об эквивалентности функций.

Примеры линейных пространств со скалярным произведением.	Ортонормированные системы.
Свойства линейных пространств со скалярным произведением. Гильбертовы пространства.	Ортогонализация.