Распределение х2 с п степенями свободы

Распределение х2 с п степенями свободы

• Эта сумма определена квадратов независимых ел. в. с общим распределением Л ‘@, 1). У нас есть распределение Л @, 1), тогда ф. при х> 0 Fx- (л) = з »(х2 <л) = гр (-V ^ <х <У7) ~ ф (Vx) -ф (-VI), полученное выражение для / х- (х) с формулой B), имеет нормальную нормальную силу. выделение G A / 2, 1/2) .Отсюда и нз леммы 1 получить, что свобода встречается с степенью свободы распределением G (л / 2, п / 2). принято независимое обозначение х2 «. ГА 2, 1) встречается с у, 22, сумма п независимых G A / 2, 1) -распределенных ел. мы уже встречались в § 6.

Бета-распределение. Это распределение задается плотностью ,, х> 1, .v <0. где р>, 6) = Jx —’A— х) «- \ -Бета-функция Эйлера, а> 0, футы> 0-параметров. распределение, которое называется также неполной бета-функцией, обозначается / * (а, Ь). функций (см. 7)) В (а, Ь) = Г (и) Г (ЬИГ (а- Отметим очевидное тождество /.t(o, й) == 1- / (, -л, (й, а), (J5) которое учитывается при составлении таблиц. Обозначив через xP (Ix (a, b)) р-квантнль распредел / v (a, b), имеем нз A5) 1 —1 \ — * ри <аМ) {Ь, а) -Р, a)) = \ -xp (I (a, b)). ¦ A6) 55 В дудущем ел. связь, используемая в статистике следующей лемме. Xmma 3. Пусть ел. В. X и Y независимы и имеют распределе- Затем G (> ,, а) и О (Я, Ь) соответственно.

Пункция распределения% 2п табулирована, при больших я можно пользоваться нормальным приближением. имеет размеры у * п, то (см. в) МУ = п, DY = 4п / 2 = 2л, л ввиду центральной предельной теоремы 5. Людмила Фирмаль

Тогда ел. в. Z = X / (X + Y) имеет ф. р. / г (а, Ь). Роказательство. Рассмотрим отношение U = X / Y и, не ограни- ограниченная общности, положим Х = 1. Для ф. стр. U получаются при ы> 0 Дифференцируя, находим ОС <8 fu («) -f fy (У) fx (Щ ydy = ‘f у ^ -Ч-У (иу) -1 e-» vy dy = J Г (а) Г (фи) J о о • A7) Г (а) ГФ) о Так как х A 2) -2 = 11? ± ^ .гв-. A _2) «-«. A9) v ‘Г (а) ГF)’ v ‘ 6. Равномерное распределение. Равномерное распределение на (О, 1) это распределе- была подробно рассмотрена в § 2. 7. Распределение Фишера, или F-распределения. В этой базе данных у Х / т _ пХ Y Инь, мой где X и Y независимые и имеют распределение% 2t и% 2п соответ- соответственно. Для f-распределения принято обозначение Fm, n, параметры.

так как ySwm ssG (1/2 / A / 2), то есть есть коэффициент эл.в. U = X / Y получается из формулы A7) пр »а = пг / 2, Ь = п / 2, откуда получается, что при v> 0 fv @) … Л f (Л. v) = Г ((т + Я) / 2) m «/ 2 ,,» / 2ym / 2-. („+ п ¦ \ п) Г (т / 2) Г (я’2) B1) Из B1) и A7) легко получить значения для центральных моментов моментов /о.ключи »выделение: + /) Г (я0.) о Г (т) Г (л) ) Г -0). о \ т) Г (т) Г (л) ‘ Из A8), A9) имеем откуда устанавливается связь между Фишера и Бета-рас- бета-распределение FV (v) = Fnu / m (v) = Imvnn + mv) (m / 2, tl / 2). Из формулы B0) имеем Обозначив через Av (Fm, n) /) — квантнль распределения Fm, n, полу- получить из B2) следующее тождество: (F «, м). B3) которое учитывается при составлении таблиц квантилей / ¦’-рас- /

• Распределение’-распределение. Щ В книге [1] приведены таблицы квантилей xp (Fm, n) для рядаов значении р и ш = 1AI0, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120, ос, п = 1а), 30, 40, 60, 120, с ». Интерполяцию рекомендуется проводить по аргументам 1 / т, 1 / п, 57 для чего значения аргументов т>! 0, я> 30 сыбраиы из у \ т> вик постоянства шага по переменным 1 // н, 1 / я, что упрощает вычисле- вычисления. \ Ример. Н Линейной интерполяцией по 1 / п находим ХР, (F2.3 ) = ХГ, (F2.30) + (Л>, (фс.40) -XP, (фс.30 »(- ^» — ^ «)» ‘X -Ы4,1821 -: — (- 0,1311) (-0,00833) «‘(-0,007017) — 30 / -4071; хР, (fas.a) -39 465 + (-0,00833) «‘(-0,007017) 0,008 = 39,4717; xPl (Fs.3b) — ( л Сз ».)) = C9,4717) -‘- 0,025. 8.

Распределение Стьюдента, или т-распределеиие. В этой базе данных (Ш B4) в зависимости от распределения, @, 1) и Число таких степеней свободы / -распределения. Тлотность ел. в. Т, очевидно, симметричная: Замечательно, что Т2 имеет /^.н-распределенне и что при t> 0 ЫО-М-О — Пт (т% получить из B1) при / »= 1, /> 0: Приближается к W @, 1).

Найдем. \. (Г-2.за) Для значении pi = 0,025 и />: = 0,975 3.5о табл. 3.5 [1] находим xPl (Fj.so) -4,1821; д>, (F2iW) -¦ 4,0510, х „, (F30.2) -39 465; л>, (FA0.2) -39 473. Людмила Фирмаль

Смотрите также:

Предмет статистики

Гамма-распределение	Доверительные оценки для н и о2, когда один из параметров известен
Экспоненциальное распределение	Сравнение дисперсии в двух выборках