Оглавление:
Сравнение дисперсии в двух выборках
- Одесса из важных прпложенп »пзложемноп выше теернн зависимости- относится к так называемой задаче о двух выборках. имеются лве независимые нормальные выборки: Хк1, Хи, …. Хк! К, фут-1,2. А2) 2означим через \ к н о *:, / г- ^ 1, 2, средние н fliicnepcim ел.п. A2) Возникает вопрос экспериментов о сравнении по результатам испытаний А2) значении о: 2 и оД А1 и (.i2.Это сравнение естественно проводить, опираясь на соотношения начать выборочные характеристики «к» * — ‘ хк = —Ухк1, si = ^ ‘-V (xki-xk) *.
Величина K ~ lV имеет в силу леммы 2 распре- выделите fn, -i, n, -i. снй можно написать а-довернтельнын ннтервал V / Xi-a / 2 (/Ч-l.,,,-!) <А. 1 или /.<1 (случай а <1 сводится к л> 1 пере- переменой местами а ты о?). точность некоторого усовершенствованного измерительного прибора я за- чтобы по результатам наблюдений А2) принять или отклонить гипотезу ?. = 1 против альтернативы /.>!.
Отношение выборочных дисперсий отношения X = oi2 / o22, но не от Ц | и цг- идет о сравнении мешающие параметры, то есть переход к статистике V полностью устраняет влияние этих факторов мешающих параметров. Людмила Фирмаль
На- Наличие доверительного интервала А4) сформулировать следующий критерий: подставим в A4) л = 1, н если результаты наблюдений * я. хп хк „к, * = 1, 2, А5) приводят к верному неравенству y / * l-a / 2 > *. Ft-1, 2.A7) го считать гипотезу A, = l против двусторонней альтернативы «кф \ верней; в случае, если гипотезу отвергнуть. Статистические выводы о вероятностях вероятностных моделях обладают принципиальной неопределенностью. Вы можете использовать доверительный интервал A4) для>. помнить, что утверждение A4) может быть верным при одной реализации опыта А2) н неверным при другой. мы за это не поняли расплачиваемся уменьшенным коэффициентом доверия 1 — а к ука- указанными границами, т. е. уменьшенной долей верных ваключений при многократном использовании данной процедуры.
проверка статистических статистическая гипотеза А, = 1. Если предположить, что на самом деле гипотеза А = 1 верна. выборочная точка A5) попадает за пределы области A6) и тем самая верная гипотеза будет отвергнута. уровень значимости критерия. областью A6). принятие гипотезы, а также которую называют критической областью. критерий эта область получается объединением выборочных точек A5), удовлетворяющих одного из неравенств: V Х | _в / 2. A8) Совокупность критических множеств A8), соответствующая от пара- параметр а, собственно и определяет данный критерий. критерий A8) можно задать с помощью статистики критерий v = «= 5г / 5г2 и указания того, какие значения критерия приводят к отвержению гипотезы. рнем. Щ о.
- Задача сравнения средних ц, и ц2. В начале нашего века англичанин Госсет, работает на фирме, занимавшейся пивоварением, столкнулся со следующей пробле- проблема должна слабо соответствовать теоретическим средним ц: в неко- некотором числе k ^ 2 малых выборок. малости выборок рассчитывать на приближенное равенство sr ^ ai2 и полагать xu’s, распре- распределенными приближениями 1 / л.- Такая техника работы в те времена широко применялась. Гроссет нашел точную долю xrfs ,, что совершило, по обще ему лрмлианкю, переворот в статистике. шак’-ш ;;: -: параметры п последующем привела Фишера к развитию дисперсионного анализа, простейшим примером которого является
методология сравнения дисперсии с помощью F-критерий. : а, 2 = О22 = а2 Статистика Х \ —Хъ в таком случае имеет нормальное распределение со средним \ ц— \ i2 и дисперсией ai2lnl + o22ln2 = = a2 (l / «i + 1 / л2) (см. § 7. п. 3), отображающей от неизвестного а. оценивания а2 можно было бы воспользоваться любым из статис- статистик Sit2. k = \, 2. Ясно, однако, что более точной будет оценка, ис- использую всю всю выборку. распредел х2 (§ 7, п. 4) величина ((л, -1) S, 2 + (n2-1) S22) / o2 имеет Х ^ + „, _
Рассмотрим задачу сравнения \ ц и ц2 в двух независимых нормальных выборках в предположении, что дисперсии одинаковые Людмила Фирмаль
2-распределения и, следовательно, статистика S2 = ((nl-l) S, 2 + («2-l) S22) / (n1 + n2-2) A9) является несмещенной оценкой о2, построенной по полной выборке. Вспоминая, что дисперсия х ^ -распределения равна 2л, получается, что DS2 = (ni + n2— 1) — ‘о2, в то время как DS, 2 = (л, -1) -‘ о2. Таким образом, отношение Т = IXi-Xd-тей-V ) / 20) имеет место? ,, + „, -2. интервал для разности средних (ср. А1) I (И1-И2) — (! — ^ L) К Обычным образом строятся односторонние доверительные грани- статистика критерия Стьюдента * 1 для проверки гипотезы # о = {ц1 = Ц2} имеет вид где s2 = ((ni— 1M | 2+ (—2— l) S22) / (ni + n2—2). к / уо применение Ц1> Ц2 » выборочные точки A5), для которых статистика / принимают зна- значения, большие некоторого заданного: (хп, х1г, …. дс1я1, хп xtnt: t> с) .B1)
Выбор числа с определенным уровнем значимости. говорят, размер критической области. Полагая с = дса (? „1 + Я | -2). получить одностороннюю критическую область размера а. * Условия контракта, по которому Госсст работал с фирмой по инвоваре- H «io, не давал ему свободу публикации, и его знаменитая работа была опуб- л «кои ;! |;, ч под скромным псевдонимом Студент. Мозлов, А. В. Прохоров 65 алр Альтернатива ц \ ф ^ критическая область размера и получается объединение двух вариантов t> C \ и / <Сг. Дисперсионный, или ^ -критерий, A8) и / -критерий, или критерий- критерий Стьюдепта, B1) Значимости. Задача проверки гипотезы ставится в форму поиска от резуль- результаты наблюдений-статистика критерия, — которая служила бы подходящей мерой согласия наблюдателей статистическая модель.
статистические данные критерий должен быть противоречивым гипотеза о том, что гипотеза # 0 верна, этн значе значения могут быть наблюдателями с вероятностью Итак, мы должны отвергнуть гипотезу. Считать, что это правда. тем самым сделан ошибочный вывод. вероятностью этой ошибки. ошибаться-принять гипотезу неверно. 6. Пример [5]. В следующей таблице приведены результаты двух опытов над мухи. опыте и 60 с-во втором. соприкосновение мухи с ядром до момента реакции, когда вызываемый яд уже не может стоять и падать.
Таблица 4 Времена реакции ykl-, k = 1,2, двух групп мух на действие яда, Xki = In Унп Vki = Ф Ш-0,5) / я *) «« 1 = 15, nt = 16 3 5 5 7 9 9 10 12 20 24 24 34 43 46 58 140 РиХ100% 3,1 9,4 15,6 21,9 28,1 34,4 40, 6 46,9 53,1 59,4 65,6 71,9 78,1 84,4 90,6 96,9 вю — 1866 -1316 -0911 -0775 -0579 -0401 -0237 -0077 0077 0237 0401 0579 0775 0911 1316 Tasu1866 * и 0477 0699 0699 0845 0954 0954 < +0000 079 301 0380 380 532 634 663 +763 146 2 5 5 7 8 9 14 18 24 26 26 34 37 42 90 /> * •: <100% 3,3 10,0 16,7 23, 3 30,0 36,7 43,3 50,0 56,7 63,3 70,0 76,7 83,3 90, 0 96,7 ° Ч — 1838 — 1281 -0966 -0729 -0524 -0339 -0168 +0000 0168 0339 0524 0729 0966 1281 1838 ( ( ( ( ( ( ), 301 ), 699 ), 699 ), 845 D.903 5954 1146 1255 1380 1415 1415 1532 568 1623 Tasu1954 66 в первом опыте Л | = 16, во втором «2 = 15. В табл. значения yik, k = l, 2, »—1, 2, …, л *, — времена реакции в минутах в порядке возрастания значения pki = (i-0,5) / л * и Vki = Q> -l (pki), k = \, 2, i = l, -2, …. nk, с цель проверки данных на нормальность. отмечены на рис. 8. Как видно, зависимость от далека от линейной щ к 90 10 50 JO 10 5 9,2 _ я я я я я я -, : • • * «Г * у -¦¦¦¦> ¦ 11 ‘; * — LU1 — • -30c ‘- я 20 40
Смотрите также:
| Распределение х2 с п степенями свободы | Примеры линейных моделей |
| Доверительные оценки для н и о2, когда один из параметров известен | Линейная статистическая модель |
