Решение полной проблемы собственных значений методом вращений

Решение полной проблемы собственных значений методом вращений

• Решить полную проблему собственных значений Метод вращения Ради простоты, сначала актуальный Метрическая матрица A определяется уравнением F.2). Пожалуйста, обратите внимание Найти все собственные значения и собственные векторы этого Матрица найдет такую ​​ортогональную матрицу T. Какая работа D = T’AT F.29) Диагональная матрица.

• На самом деле, в таких случаях Если ортогональная матрица T найдена, диагональные элементы Матрица D является собственным значением матрицы A. Столбцы матрицы T имеют соответствующие собственные значения Матрица-вектор 13). Вводит сферическую норму матрицы А. EE4 1/2 SF- г = 1 с = И, очевидно, диагональные элементы матрицы A Справедливое неравенство.

Кроме того, это неравенство Когда матрица А диагональна. Людмила Фирмаль

Где под ортогональным преобразованием Матрица A (т. Е. При преобразовании формы A = UAR, U А R — ортогональные матрицы) сферическая норма этой матрицы Без изменений14). Это от всех ортогональных Матрица А, преобразование F.29) Это преобразование позволяет Преобразованные матричные элементы и минимальная сумма Квадрат всех недиагональных элементов этой матрицы. Метод вращения является итеративным методом.

Вышеуказанная матрица T может быть найдена как бесконечный предел Произведение базовых матриц вращения, каждая 13) Чтобы доказать это, укажите диагональные элементы с Ai, A2, …, An Положите полицию и подразделения в процессии D. = || эй. || где элемент ej. Ряд е и удовлетворительно Они соответствуют требованиям. erk = 0 для kΦ1 и e1 = 1.

И, очевидно, De ^ = A ^ e ^, то есть Потому что T’Ate ^ = A ^ e / r, а T ‘= T ~, ATE /, = A / .Ted. Поэтому Тед. Собственный вектор матрицы А. 14) Фактически, если A = UAR, символ tr C представляет сумму всех элементов. Элементы матрицы C на главной диагонали, || A || ^, = tr (AfA) = = tr (R’A’U’UAR) = tr (R’A’AR) = || LD || c2f = 2 2 = tr (ARR’A ‘) = tr (AA’) = \ A ‘\ 2sf = \ A \ 2sf.

В общем, метод вращения заключается в построении последовательности матрица A, AUA2, …, AV, AV + 1, …, F.32) Каждый преемник взят из предыдущего времени Av +1 = сила базового шага в виде TcAyTts. Для простоты опустите индекс v, Выполняется с использованием такого шага A = TcATc, матрица F.31), Для элемента ac преобразованной матрицы A получаем Выражение, которое проходит через элементы матрицы AC:

ay = aki для kfg, j, если i, j; ai = ai cosip + a ^ sin (p для / f r, j; aji = -ac ball + aji cos (p для I f g, j; a, q = ac cos (p + aij simp для I f g, j; ac = -ac 8in (p + ac f ac = (ac cos cp + aji sin cp) cos cp + (ac cos cp + ajj sin cp) sin cp; aji = (-ac sin cp + а ^ cosу?) cos cp + (-a ^ -sinu? + a ^ j cos cp) sin? ; ajj = — (- ac sin sin? + aji cosф) sin y? + (-Ac грех грех? + Ajj cos y?) Cos (p; ac = — (a ^ r cos ip + aji sin y?) sin cp + (a ^ -cos cp + ajj sin y?) cos cf. F.33)

• Из соотношения F.33) и условия симметрии матрицы A Следующее легко проверяемое равенство следует. Из этого равенства, для наибольшего сокращения Сумма квадратов всех недиагональных элементов равна TSU F.31) Выберите для удовлетворения следующих двух требований.

1) Квадрат элемента а ^ — Большой среди квадратов всех недиагональных элементов матрицы A То есть на выбор чисел r и j влияет условие a2, = max a? ,; kf1 2) Выберите так, чтобы угол поворота cp матрицы F.31 был правильным Гордость равенство (Ctjj-an) sin2 (p + 2ctij cos2 (p = 0, F.35)

Однозначно определить угол Людмила Фирмаль

Это уравнение позволяет рассчитать cos ip и sin ip по формуле 1/2 1/2 simp = sgnp <-1-A + p1) -1 [2 л Где p = 2aij / (aa-cj). Если выбрана матрица F.31), Для требований 1) и 2) выше уравнение F.34) Ударное отношение: р р р р х х до 2 х х 2 примерно 2 / л Qrt \ yy ak1 = yy aki-Za ^, (b.o7j kf \ kf1 Ctij является крупнейшим Основной элемент матрицы. Метод вращения сейчас Построение матричной последовательности F.32), каждый последующий Один из них является ортогональным от предыдущего Преобразование Av +1 = Tc • Av •

Tc, где матрица Tc — это Tc (t) Выбран для удовлетворения вышеуказанных двух требований 15). Докажем сходимость метода вращения. Дисплей Sy Сумма квадратов всех недиагональных элементов матрицы Av, и о! фив это самый большой модальный недиагональный элемент Матрица.

Далее, согласно F.37), равенство , F.38) Кроме того, общее количество недиагональных элементов матрицы Av невероятно похож на n (n-1), o! Фьив является крупнейшим по модулю этих элементов Полицейский, тогда неравенство верно F.39) n (n-1) F.38) и F.39) означают неравенство ] F.40) Последовательно используя неравенство F.40) Пазы 0, 1, …, v и все суммы квадратов, обозначенные Sq = Sq (A)

Получить недиагональный элемент основной матрицы A Из неравенства F.41) lim ^^ oo S ^ + 1 = 0 и Докажите сходимость метода вращения. В качестве аппроксимации собственных значений матрицы A Получены диагональные элементы матрицы Av, Столбец матрицы собственного вектора матрицы A TsyT; 1L xTi2h … Tivjv. Более точные результаты были получены с В.В. Воеводина 16).

В случае Браун, любая (не обязательно симметричная) матрица А 15) числа r и j на каждом шаге Модуль представлял собой недиагональный элемент матрицы Av с этими числами. 16) Воеводин В.В. Численный метод алгебры. Теория и алгоритм. -М. : ON Там нет жордановой клетки и всех ее недиагональных элементов значение порядка е, а число р = -Адж |, В.В. Воеводин получил следующие оценки:

а) Для собственных значений, оценочное значение A ^ = a a & 0> r> + Значение р, принадлежащее 0 (r3) ( Множество Ri чисел j = 1, 2, …, n, где Xj = A (). б) Если T матрица, столбцы которой являются собственными значениями Матрица T и T = E + H тора. Где .E — единичная матрица и Расчетное значение элемента bj матрицы H о Если Си = АЗЗ ~ + 0 (r2) A <ΦX3.

Если A — сложная эрмитова матрица, вместо тс F.31) должна принимать унитарную матрицу о ( + (ctjj-пс) cos (psm (pe1 ^) = 0. Последнее условие приводит к отношениям , + 0 * S, |, б φ = Arga ^ j, tg2cp =, \ (p \ ^ -. an-ctjj 4 Доказательство сходимости метода вращения выполняется именно так Так же, как реальная матрица.

Смотрите также:

• Решение задач по линейной алгебре

Случай несимметричной матрицы A	Понятие билинейной формы
Итерационный метод П.Л. Чебышева	Представление билинейной формы в конечномерном линейном пространстве