Оглавление:
Симметрические и кососимметрические уравнения
Симметрическим уравнением n -й степени называется алгебраическое уравнение вида
![Симметрические и кососимметрические уравнения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-33799.png)
где равноотстоящие от концов многочлена коэффициенты равны, т.е.
![Симметрические и кососимметрические уравнения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-33802.png)
Рассмотрим отдельно решение симметрических уравнений чётной и нечётной степеней [30].
Если то поделим уравнение на
и сделаем замену
. В результате получим алгебраическое уравнение степени в два раза ниже первоначальной, решив которое и сделав обратную подстановку, найдём все решения уравнения.
Если же , то одним из корней уравнения всегда будет x = — 1. Делением многочлена в левой части уравнения на x + 1 задача сводится к решению симметрического уравнения степени n = 2k , метод решения которого рассматривался выше.
Пример №189.
Решить уравнение
Решение:
Очевидно, имеем симметрическое уравнение 5-й степени. Решаем его по изложенной выше схеме. Одним из корней уравнения будет число x = — 1. Найдём другие корни:
![Симметрические и кососимметрические уравнения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-33829.png)
Решим симметрическое уравнение 4-й степени
![Симметрические и кососимметрические уравнения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-33831.png)
Поделим для этого обе части уравнения на :
![Симметрические и кососимметрические уравнения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-33836.png)
Обозначим у = x + (1/x), тогда
![Симметрические и кососимметрические уравнения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-33838.png)
Выполняя обратную подстановку, получаем
![Симметрические и кососимметрические уравнения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-33840.png)
Объединяя полученные решения, приходим к ответу:
Кососимметрическим уравнением n -й степени называется уравнение вида
![Симметрические и кососимметрические уравнения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-33845.png)
где равноотстоящие от концов многочлена коэффициенты являются противоположными числами, т.е.
Решение кососимметрических уравнений чётной и нечётной степени во многом аналогично решению соответствующих симметрических уравнений.
Если , то делением обеих частей уравнения на
и заменой
получим алгебраическое уравнение степени в два раза ниже первоначальной, решив которое и сделав обратную подстановку, найдём решения уравнения.
Если же , то одним из корней уравнения всегда будет x = 1, поэтому делением на x — 1 получаем кососимметрическое уравнение степени n = 2k . Задача свелась к предыдущей.
Пример №190.
Решить уравнение
Решение:
Это кососимметрическое уравнение 4-й степени. Поскольку x = 0 не является корнем уравнения, то поделим обе его части на :
![Симметрические и кососимметрические уравнения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-33948.png)
Перепишем последнее уравнение в виде
![Симметрические и кососимметрические уравнения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-33952.png)
Положим у = х — (1/x), тогда получим
![Симметрические и кососимметрические уравнения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-33959.png)
Выполняя обратную подстановку, получаем 4 решения
![Симметрические и кососимметрические уравнения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-33965.png)
Пример №191.
Найти все значения параметра а , при которых уравнение
![Симметрические и кососимметрические уравнения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-33977.png)
на промежутке имеет не менее двух корней.
Решение:
Так как , то делением уравнения на
, группировкой слагаемых с одинаковыми коэффициентами и заменой у = x — (1/х), получаем равносильное уравнение
![Симметрические и кососимметрические уравнения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-33997.png)
Поскольку функция у =x — (1/x) возрастает на промежутке от
до
, то исходное уравнение имеет не менее двух корней на
тогда и только тогда, когда, когда полученное уравнение имеет два отрицательных корня
т.е. когда
![Симметрические и кососимметрические уравнения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/02/image-34010.png)
Ответ:
Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:
Эти страницы возможно вам будут полезны: