Оглавление:
Системы линейных однородных уравнений
Пусть дана система линейных однородных уравнений
![Системы линейных однородных уравнений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/image-4863.png)
Очевидно, что однородная система всегда совместна , она имеет нулевое (тривиальное) решение
.
При каких условиях однородная система имеет и ненулевые решения?
Теорема 4.4. Для того, чтобы система однородных уравнений имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее основной матрицы был меньше числа
неизвестных, т. е.
.
Необходимость.
Так как ранг не может превосходить размера матрицы, то, очевидно, . Пусть
. Тогда один из миноров размера
отличен от нуля. Поэтому соответствующая система линейных уравнений имеет единственное решение:
. Значит, других, кроме тривиальных, решений нет. Итак, если есть нетривиальное решение, то
.
Достаточность.
Пусть . Тогда однородная система, будучи совместной, является неопределенной. Значит, она имеет бесчисленное множество решений, т. е. имеет и ненулевые решения.
Пусть дана однородная система линейных уравнений с
неизвестными
![Системы линейных однородных уравнений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/image-4864.png)
Теорема 4.5. Для того, чтобы однородная система линейных уравнений с
неизвестными имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель
был равен нулю, т. е.
.
Если система имеет ненулевые решения, то . Ибо при
система имеет только единственное, нулевое решение. Если же
, то ранг
основной матрицы системы меньше числа неизвестных, т. е.
. И, значит, система имеет бесконечное множество (ненулевых) решений.
Пример №4.6.
Решить систему
![Системы линейных однородных уравнений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/image-4865.png)
Решение:
![Системы линейных однородных уравнений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/image-4866.png)
Так как , то система имеет бесчисленное множество решений. Найдем их
![Системы линейных однородных уравнений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/image-4867.png)
. Стало быть,
— общее решение.
Положив , получаем одно частное решение:
. Положив
, получаем второе частное решение:
,
,
и т. д.
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
Действия над матрицами |
Элементарные преобразования матриц |
Линейные операции над векторами |
Проекция вектора на ось |