Проекция вектора на ось
Пусть в пространстве задана ось , т. е. направленная прямая.
Проекцией точки на ось называется основание перпендикуляра , опущенного из точки на ось.
Точка есть точка пересечения оси с плоскостью, проходящей через точку перпендикулярно оси (см. рис. 7).
Если точка лежит на оси , то проекция точки на ось совпадает с .
Пусть — произвольный вектор (). Обозначим через и проекции на ось соответственно начала и конца вектора и рассмотрим вектор .
Проекцией вектора на ось называется положительное число , если вектор и ось одинаково направлены и отрицательное число — , если вектор и ось противоположно направлены (см. рис. 8). Если точки и совпадают (), то проекция вектора равна 0.
Проекция вектора на ось обозначается так: . Если или , то .
Угол между вектором и осью (или угол между двумя векторами) изображен на рисунке 9. Очевидно, .
Рассмотрим некоторые основные свойства проекций.
Свойство 1. Проекция вектора на ось равна произведению модуля вектора на косинус угла между вектором и осью, т. е. .
Если , то .
Если , то (см. рис. 10).
Если , то .
Следствие 5.1. Проекция вектора на ось положительна (отрицательна), если вектор образует с осью острый (тупой) угол, и равна нулю, если этот угол — прямой.
Следствие 5.2. Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны между собой.
Свойство 2. Проекция суммы нескольких векторов на одну и ту же ось равна сумме их проекций на эту ось.
Пусть, например, . Имеем , т. е. (см. рис. 11).
Свойство 3. При умножении вектора на число его проекция на ось также умножается на это число, т. е.
При имеем
При : Свойство справедливо, очевидно, и при .
Таким образом, линейные операции над векторами приводят к соответствующим линейным операциям над проекциями этих векторов.
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
Системы линейных однородных уравнений |
Линейные операции над векторами |
Разложение вектора по ортам координатных осей |
Скалярное произведение векторов и его свойства |