Оглавление:
Определение скалярного произведения
Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
Обозначается (или (, )). Итак, по определению,
где .
Формуле (6.1) можно придать иной вид. Так как (см. рис. 14), а , то получаем:
т. е. скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, умноженному на проекцию другого на ось, сонаправленную с первым вектором.
Свойства скалярного произведения
1. Скалярное произведение обладает переместительным свойством: .
, а . И так как , как произведение чисел и , то .
2. Скалярное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя: .
3. Скалярное произведение обладает распределительным свойством: .
4. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: .
В частности: .
Если вектор возвести скалярно в квадрат и затем извлечь корень, то получим не первоначальный вектор, а его модуль , т. е. .
Пример №6.1.
Найти длину вектора , если , .
Решение:
5. Если векторы и (ненулевые) взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, т. е. если , то . Справедливо и обратное утверждение: если и , то .
Так как , то . Следовательно, . Если же и , то . Отсюда , т. е. . В частности:
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
Проекция вектора на ось |
Разложение вектора по ортам координатных осей |
Выражение скалярного произведения через координаты |
Некоторые приложения скалярного произведения |