Сложение пар. Условие равновесия системы пар

Сложение пар. Условие равновесия системы пар

Как уже говорилось выше, пара есть такая система сил, которая не может быть упрошена, т. е. заменена одной силой. Поэтому в механике, наряду с действиями над силами, приходится рассматривать и действия над парами сил. Аналогично соответствующим понятиям для сил, операция замены системы пар одной эквивалентной парой называется сложением пар. Пара, действие которой на тело заменяет действие на него всех данных пар вместе взятых, называется результирующей парой.

Теорема. Действие на тело нескольких пар, лежащих в произвольных плоскостях, эквивалентно действию одной пары, момент которой равен геометрической сумме моментов составляющих пар.

Доказательство. Рассмотрим сначала сложение двух пар Сложение пар и Сложение пар, лежащих в пересекающихся плоскостях Сложение пар и Сложение пар с моментами Сложение пар и Сложение пар (рис. 42).

Сложение пар

Переместим каждую из данных пар в ее плоскости так. чтобы плечи пар совпали с линией пересечения плоскостей Сложение пар и Сложение пар. Возьмем теперь на этой линии произвольный отрезок Сложение пар и примем его за общее плечо обеих пар, изменив, конечно, соответствующим образом модуль сил, составляющих пары. При этом должно быть: Сложение пар и Сложение пар.

Сложив силы Сложение пар и Сложение пар, приложенные в точке Сложение пар, получим равнодействующую Сложение пар, сложив силы Сложение пар и Сложение пар, приложенные в точке Сложение пар, получим равнодействующую Сложение пар. Вследствие равенства и параллельности соответствующих сторон силовых параллелограммов очевидно, что равнодействующие Сложение пар и Сложение пар равны по модулю и параллельны. Кроме того, они направлены в противоположные стороны.

Таким образом, в результате сложения двух данных пар мы получим новую, результирующую пару Сложение пар, лежащую в некоторой плоскости Сложение пар, не совпадающей ни с одной из плоскостей Сложение пар и Сложение пар. Так как

Сложение пар

то момент результирующей пары

Сложение пар

Таким образом, момент Сложение пар результирующей пары равен геометрической сумме моментов составляющих пар, т. е. изображается (рис. 42, б) по модулю и по направлению диагональю параллелограмма, построенного на моментах составляющих пар.

Доказанное для двух пар легко распространить и на случай, когда на твердое тело действует в различных плоскостях любое число пар. Перенося моменты этих пар как свободные векторы в одну общую точку и последовательно складывая их, подобно тому, как мы складывали силы, сходящиеся в одной точке, мы приходим к правилу, аналогичному правилу сложения сходящихся сил:

Момент Сложение пар результирующей пары изображается по модулю и направлению замыкающей стороной многоугольника, построенного на моментах составляющих пар как на сторонах, т. е. является геометрической суммой моментов составляющих пар:

Сложение пар

Очевидно, что если пары, действующие на твердое тело, взаимно уравновешиваются, то момент Сложение пар их результирующей пары должен равняться пулю.

Отсюда следует, что Оля равновесия системы пар, расположенных как угодно в пространстве, необходимо и достаточно, чтобы равнялась нулю геометрическая сумма их моментов, т. е. чтобы многоугольник, построенный на моментах данных пар, был замкнутым.

Пример задачи:

На твердое тело действуют три пари сил Сложение пар и Сложение пар, расположенные в трех взаимно перпендикулярных плоскостях (рис. 43,а). Модули сил пары, расположенной в плоскости Сложение пар. Плечо этой пары Сложение пар. Модули сил пары, расположенной в плоскости Сложение пар,

Сложение пар
Сложение пар

Плечо этой пары Сложение пар. Модули сил пары, расположенных в плоскости Сложение пар. Плечо этой пары Сложение пар. Найти результирующую пару.

Решение:

Находим модули моментов составляющих пар:

Сложение пар

Выбираем какой-либо масштаб для модуля моментов и изображаем моменты пар в виде векторов Сложение пар и Сложение пар (рис. 43,а), направленных в соответствии с установленным выше (стр. 61) правилом.

Так как моменты Сложение пар и Сложение парсоставляющих пар расположены по трем взаимно перпендикулярным направлениям, то момент Сложение парСложение пар результирующей пары изобразится диагональю соответствующего параллелепипеда (рис. 43,6). Модуль этого вектора

Сложение пар

Плоскостью действия результирующей пары может быть любая плоскость, перпендикулярная вектору Сложение пар ее момента. Проекции вектора Сложение пар момента на выбранные оси координат (рис. 43,6) нам известны: Сложение пар {20, —15, 10}. Следовательно, уравнение семейства плоскостей, перпендикулярных вектору Сложение пар, запишется в виде: Сложение парСложение пар, где Сложение пар и Сложение пар —текущие координаты точек плоскости и Сложение пар — произвольная постоянная.

Эта теория взята с полного курса лекций на странице решения задач с подробными примерами по предмету теоретическая механика:

Теоретическая механика — задачи с решением и примерами

Возможно вам будут полезны эти дополнительные темы:

Теоремы об эквивалентности пар
Момент пары как вектор
Момент силы относительно центра (точки)
Теорема о параллельном переносе силы. Главный вектор и главный момент произвольной системы сил